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Jeanine (jeanine)
Neues Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:14: | 
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1. An die Funktion f: x--> x³ ist im Punkt P(1/1) die Tangente an die Kurve zu legen.
Diese Tangente hat mit der Kurve noch einen weiteren Schnittpunkt. Wie kann ich diesen Schnittpunkt Bestimmen? |
melanie (melanie)
Moderator
Benutzername: melanie
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 19:26: |
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Hallo Jeanine!
Zunächt musst du eine Gleichung für die Tangente aufstellen. Die allgemeine Geradengleichung lautet wie folgt:
y=mx+n
m ist die Steigung der jeweiligen Gerade, n der sogenannte y-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und x und y sind die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden.
Da die Funktion der Kurve und ein Berührpunkt von Kurve und Tangente gegeben ist, lässt sich die Steigung der Tangente bestimmen.
Eine Tangente hat in einem bestimmten Punkt die selbe Steigung, wie der Graph in diesem Punkt.
Da die Ableitung einer Funktion die Steigung der selben angibbt, brauch man also nur f'(1) bilden, um die entsprechende Steigung im Punkt P zu erhalten.
f'(x)=3x²
f'(1)=3*1²=3
Die vorläufige Geradengleichung lautet also: y=3x+n
Nun setzt man den Punkt P ein, um n zu berechnen.
1=3*1+n
1=3+n
n=-2
y=3x-2
Nun kann man den zweiten gemeinsamen Punkt berechnen.
y=x³ und y=3x-2
x³=3x-2
x³-3x+2=0
(x³-3x+2)/(x-1)=x²+x-2
x²+x-2=0
x=2 oder x=-1
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Ulli
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 19:35: |
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Leider falsch!
f(x)=x³
f'(x)=3x²
f'(1)=3 dies ist die Steigung der Tangente
Tangente: y=mx+b
1=3*x+b also b = -2
Tangentengleichung: y = 3x-2
Schnittpunkt: x³=3x-2
x³-3x+2=0 eine Lösung (Schnittpunkt) ist bekannt: x=1
also kann man den Faktor (x-1) abspalten:
Polynomdivision: (x³-3x+2) : (x-1) = x²+x-2
(x²+x-2)*(x-1)=0
Faktor (x²+x-2) = 0 ergibt x = -2 der x-Wert des zweiten Schnittpunktes.
f(-2) = -8
Schnittpunkt: (-2, -8)
Mit vielen Grüßen
Ulli
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melanie (melanie)
Moderator
Benutzername: melanie
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 20:57: |
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Hallo Ulli!
Du hast recht. Dass mein Ergebnis falsch ist, hätte mir eigentlich auffallen können, da bei meiner letzten Rechnung ein Ergebnis -1 war und nicht +1. Danke für die Korrektur. Tschüß Melanie |
Jeanine (jeanine)
Junior Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 10:46: |
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danke... kann mir vielleicht noch jeamand sagen, ob ich den ersten teil der Frage mit einer Zeichnung darstellen kann?
"An die Funktion f: x-->x³ ist im Punkt P(1/1) die Tangente an die Kurve zu legen." |
Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 11:30: |
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Hallo Jeanine,
Die Tangente einer Kurve an einem bestimmten Punkt ist eine Gerade, die die Kurve an diesem Punkt berührt, aber nicht schneidet (vgl. Kreis). Es gibt in jedem Punkt einer Kurve nur eine Tangente. Wenn Du f(x)=x3 zeichnest und die Tangente im Punkt (1/1) "anlegen" sollst, dann musst Du mit dem Geodreieck eine Gerade konstruieren, die durch den Punkt (1/1) geht, die Kurve im näheren Umkreis jedoch sonst nicht berührt. Falls Du die Kurve im "normalen" Maßstab (2 Kästchen = 1 Einheit) gezeichnet hast, könnte man ja vermuten, daß es mehrere dieser Tangenten gibt, das liegt aber nur an der Ungenauigkeit. Zeichne einfach mal in einem größeren Maßstab (20 Kästchen = 1 Einheit) nur den Bereich 0.5<x<1.5 der Funktion und versuch es dann mal. Das könntest Du unendlich fortsetzen und würdest feststellen, daß es wirklich nur eine Tangente geben kann, die halt immer "genauer" wird.
Die Steigung dieser Tangente ist gleich dem Funktionswertes der ersten Ableitung an diesem Punkt.
Leider habe ich keinen Scanner, daher kann ich Dir keine Zeichnung liefern.
Gruß
Thomas |
Jeanine (jeanine)
Junior Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 13:23: |
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Danke Thomas... das ist eine gute idea, die Zeichnung mit 20 Kästchen = 1 Einheit zu zeichnen.
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