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Jeanine (jeanine)
Neues Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 15:45: | 
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Bilden Sie unter Benutzung bekannter Differentitationsregeln jeweils die erste Ableitungsfunktion:
1. f: x--> (1/20)x^5 + (1/4)x^4 + 3x^3 - 0,5x² + pi * x - 101,71
2. f: x--> (x^7/2) - (5/x) + (1/4*x^4) + (Wurzel x)
3. f: x--> (4x^3-100x)^3
4. f: x--> (4x-5x²)* (x²-4)
5. f: x--> (4x+3) * (10x^4+25x²-11)²
6. f: x--> (9x²-8)/(4x²+2)
7. f: x--> (2x^3+1)/(x+2)^4 |
Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 16:50: |
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Hi,
zu 1. und 2. schonmal :
allgemein leitet man einfache Funktionen wie folgt ab :
f(x) = xn ergibt für f´(x)= n*xn-1
f(x) unter 1. ist ja nichts anderes als die Summe mehrerer Funktionen, die Du einzeln ableiten kannst :
f1(x)=(1/20)x5, also f1´(x)=5*(1/20)x4=(1/4)x4
f2(x)=(1/4)x4, also f2´(x)=4*(1/4)x3=x3
f3(x)=3x3, also f3´(x) = 3*3x2=9x2
f4(x)=0,5x2, also f4(x) = 2*0,5x1 = x
f5(x)=px, also f5´(x) = 1*p*x0 = 1*p*1 =p
f6(x)=101,71=101,71*x0=0*101,71*x-1=0
Am Ende setzt Du die einzelnen Ableitungen wieder zusammen :
f´(x)=f1´(x)+f2´(x)+f3´(x)-f4`(x)+f5´(x)+f6´(x)
f´(x)=(1/4)x4+x3+9x2-x+p+0
Natürlich brauchst Du die Funktion nicht wirklich so auseinanderzupflücken, mit etwas Übung geht das auch in einem Schritt
2. solltest Du jetzt selbst können,kleiner Hinweis noch :
1/x = x-1
Wurzel(x) = x1/2
Ab 3. kannst Du andere Regeln verwenden (Produktregeln, Quotientenregeln etc., müsste ich selbst nochmal nachsehen)
Vielleicht setzt sich ja jemand anders dran...
Gruß
Thomas
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melanie (melanie)
Moderator
Benutzername: melanie
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 17:53: |
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Hi Jeanine!
Ich werde mich dann mal an die weiteren Ableitungen setzen. Mal sehen, wie weit ich komme...
zu 2) f'(x)=(7/2x^5/2)+(1/x²)+x³+(1/2*Wurzel(x))
zu 3) Hierbei musst du die Kettenregel anwenden. Die lautet folgendermaßen:
f(x)=u(v(x))
f'(x)=u'(v(x))*v'(x)
Du bestimmst zunächst die innere Funktion v(x) und die äußere Funktion u(z) und deren Ableitungen. Dann setzt du diese in die oben angegebene Funktion ein.
v(x)=4x³-100x=z
v'(x)=12x²-100
u(z)=z³
u'(z)=3z²
f'(x)=3(4x³-100x)²*(12x²-100)
Man könnte die Klammern jetzt noch ausmultiplizieren, aber diese Rechenarbeit erspar ich mir jetzt. Die innere Funktion v(x) setzt man gleich z (substituieren), um so einen möglichst einfachen Ausdruck für die äußere Funktion zu bilden. Wenn man dann die Ableitung bildet, wird das z wieder durch den entsprechenden Term ersetzt (resubstituieren).
zu 4) Bei dieser Funktion musst du die Produktregel anwenden, die folgendermaßen aussieht:
f(x)=u(x)*v(x)
f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)+u(x)
Bei dieser Regel werden zunächst die beiden Faktoren als u und v bezeichnet und dann deren Ableitungen gebildet. Danach setzt man die entsprechenden Terme in die oben genannte Funktion f'(x) ein.
u(x)=4x-5x²
u'(x)=4-10x
v(x)=x²-4
v'(x)=2x
f'(x)=(4-10x)*(x²-4)+2x*(4x-5x²)
=4x²-16-10x³+40x+8x²-10x³
=-20x³+12x²+40x-16
zu 5) Bei dieser Funktion muss man die Kettenregel und die Produktregel miteinander kombinieren. Der zweite Faktor muss zunächst nach der Kettenregel abgeleitet werden und danach muss der Gesamtausdruck mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden.
u(x)=4x+3
u'(x)=4
v(x)=(10x^4+25x²-11)²
v1(x)=10x^4+25x²-11=z
v1'(x)=40x³+50x
v2(z)=z²
v2'(z)=2z
v'(x)=2(10x^4+25x²-11)*(40x³+50x)
f'(x)=4*((10x^4+25x²-11)²)+2(10x^4+25x²-11)(40x³+50x)*(4x+3)
zu 6) Bei dieser Funktion benötigst du die sogenannte Quotientenregel, die folgendermaßen lautet:
f(x)=u(x)/v(x)
f'(x)=[u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/[v(x)]²
u(x)=9x²-8
u'(x)=18x
v(x)=4x²+2
v'(x)=8x
f'(x)=[18x*(4x²+2)-(9x²-8)*8x]/[4x²+2]²
=[72x³+36x-72x³+64x]/[4x²+2]²
=[100x]/[4x²+2]²
zu 7) Bei dieser Aufgabe musst du zunächst den Nenner mit Hilfe der Kettenregel ableiten und danach den Gesamtausdruck mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.
u(x)=2x³+1
u'(x)=6x²
v(x)=(x+2)^4
v1(x)=x+2=z
v1'(x)=1
v2(z)=z^4
v2'(z)=4z³
v'(x)=4(x+2)³*1=4(x+2)³
f'(x)=[6x²*(x+2)^4-(2x³+1)*4(x+2)³]/(x+2)^8
=[(x+2)³*(6x²*(x+2)-(2x³+1)*4]/[(x+2)³*(x+2) ^5)]
=[6x²*(x+2)-(2x³+1)*4]/(x+2)^5
=[6x³+12x²-8x³-4]/(x+2)^5
=[-2x³+12x²-4]/(x+2)^5
Ich hoffe, dass dir das weiterhilft. Wenn du irgendwo nicht klar kommst, dann frag einfach noch mal nach. Tschüß Melanie
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Jeanine (jeanine)
Neues Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:09: |
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Danke.... habe doch bei nummer 1 das richtige ergebniss gehabt. ich war mir da gar nicht so sicher, wegen dem * in der mitte. |
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