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Romana
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 13:13: | 
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Kann mir bittte jemand helfen?
Die Graphen der Funktion f: x -> cos x und g: x -> sin2x schneiden sich im Bereich [0;2pi] viermal. An welchen Stellen und unter welchen spitzen Winkeln?
Wenn es geht noch bitte heute
Danke
Romana |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 12:31: |
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Erstmal suchen wir die Stellen mit
sin 2x = cos x.
Es gilt sin 2x = sin (x+x) = (sin x)*(cos x) + (cos x)*(sin x) = 2(sin x)(cos x)
also
2(sin x)(cos x) = cos x | -cos x
2(sin x)(cos x) - cos x = 0
(cos x)(2 sin x - 1) = 0
Ein Produkt wird genau dann 0 wenn mindestens eins seiner Faktoren 0 ist, also gibt es hier die Lösungen
1) cos x = 0
und 2) 2 sin x - 1= 0
zu 1) cos x = 0 bei pi/2 und 3pi/2.
zu 2) 2 sin x - 1 = 0 |+1
2 sin x = 1
sin x = 1/2
das ist bei x = pi/6 (30°) und 5pi/6 (180°-30°) der Fall.
Die Lösungen sind also
pi/6, pi/2, 5pi/6 und 3pi/2
Unter welchem Winkel schneiden sie sich?
In dem Winkel, wie sich die jeweiligen Tangenten schneiden, das ist schließlich die Steigung der Funktionen an den Schnittpunkten.
Also Ableitung:
(sin 2x)' = 2*cos 2x
(cos x)' = -sin x
Nennen wir den Winkel von sin 2x zur Waagrechten immer a und den von cos x b.
An x = pi/6 gibt das:
(sin 2x)' = 1 => tan a = 1 => a = 45°
(cos x)' = -1/2 => tan b = -1/2 => b = ca. 26,6°
Die Winkel gehen in verschiedene Richtungen, also ist der Gesamtwinkel die Summe ihrer Beträge: ca. 71,6°.
Bei x = pi/2 kriegen wir:
(sin 2x)' = -2 => tan a = -2 => a =ca. -63,4°
(cos x)' = -1 => tan b = -1 => b = -45°
Beide Winkel gehen in die selbe Richtung, der Winkel dazwischen ist also die Differenz der Beträge: ca. 18,43°
Die letzten beiden kannst du schon selbst. |
Romana
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 11:34: |
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Danke Ysanne für deine Hilfe
Romana |
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