| Autor |
Beitrag |
    
Sascha
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 12:44: | 
|
Ich hab folgendes Problem,dass ich morgen eine Klausur schreibe und den Unterschied zwischen einer Schranke und einem Grenzwert nicht verstanden habe |
buh
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 13:40: |
|
Eine (obere) Schranke ist eine reelle Zahl, die größer (oder auch gleich)zu allen Folgegliedern ist. Für a(n)=n/(n+1)sind obere Schranken z.B. 1, 2, Pi.
Der Grenzwert ist (für das Beispiel) die kleinste obere Schranke; in dem Falle also 1.
buh@buhniversum.de |
Sascha
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 14:23: |
|
vielen Dank erstmal aber ich hänge an der Aufgabe an= (n+1)/(n^2+2) zeige s=0 ist der Grenzwert das ging noch klar! aber wie beweise ich jetzt dass dass eine Schranke ist und welche?
wir sollten dass mit X(E)=[an-s]<E beweisen |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 09:49: |
|
Hi buh (schöner Name),
zunächst ist a(n) immer größer gleich Null, also ist Null schon mal eine (untere) Schranke. a(n) kann nie kleiner als Null sein, das meint Schranke - aber das ist noch keine Aussage über den Grenzwert.
Trick: man "verschlechtert" die Folge a(n), soll heißen: man erleichtert sich die Arbeit, indem man an vereinfacht - aber nur so, daß die vereinfachten Terme IMMER GRÖSSER ODER schlimmstenfalls GLEICH dem ursprünglichen a(n) sind - und zwar solange, bis z.B. 1/n oder 2/n oder 3/n oder 99/n ... herauskommt. Man schätzt also ab, und zwar nach OBEN. Und die Abschätzungen haben den Grenzwert Null. Also:
0 <= a(n) <= .... <= Zahl/n ---> 0. Damit geht auch a(n) gegen Null.
Rechnung:
Da n^2 + 2 >= n^2, ist der Kehrwert 1/(n^2 + 2) <= 1/n^2. Also
|a(n) - 0| = |a(n)| = a(n) = (n+1) / (n^2+2) <=
<= (n+1)/n^2 <= ..........| da Zähler n+1 <= n + n = 2n
<= 2n/n^2 = ..............| kürzen
= 2/n
Also |a(n) - 0| <= 2/n < E ist erfüllt für alle natürlichen Zahlen n > 2/E
E (epsilon) ist nichts anderes als eine Genauigkeitsgrenze. Beispiel: E=0,0001. Das heißt: ab welcher nat. Zahl n weicht die Folge a(n) erst in der 4. Nachkommastelle von Null ab?
n > 2/E = 2/0,0001 = 20 000. Gewünschte Genauigkeit also ab a(20 000).
Hoffentlich ist's verständlich. Ciao. |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 09:51: |
|
Äh, das sollte ja an Sascha gehen ... sorry |
|
