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Imken (Nekmi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 18:50: | 
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ok, komplex ist diese Aufgabe eigentlich nicht. Das Ergebnis hab ich auch, aber wir sollten die Aufgabe auch noch mal auf nen anderen Weg lösen...
Vier Stangen (je 4m) bilden das Gerüst eines Zeltes in Form einer quadratischen Pyramide. Gesucht is das Zelt mit dem größten Volumen...
Nebenfunktion: sin(alpha)=h/4; cos(alpha)=d/ (2*4)
a²=d²/2=32*(cos(alpha))²
Zielfunktion:
V (alpha) = 128/3 * (cos(alpha))² * sin (alpha)
mit 0<= alpha <= 0,5 pi
wie komme ich hierbei auf das Ergebnis? |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 18:56: |
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Hallo Imken,
Was sollst Du denn als Ergebnis angeben? Das Volumen, oder den Winkel und was bedeuten die Größen die Du eingeführt hast (h,d,alpha..)
anonym |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 08:14: |
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Hallo,
der ganze Zirkus mit der Herleitung der Zielfunktion hatte nur einen Grund - die Zielfunktion soll nur von einer Variablen (hier halt dem Winkel alpha) abhängen.
Wenn die Funktion V(alpha) maximiert werden soll, dann muß ihre Ableitung V'(alpha) an dieser Extremstelle Null sein.
Mit (cos(alpha))'=-sin(alpha), (sin(alpha))'=cos(alpha), der Produkt- und der Kettenregel erhälst du
V'(alpha) = 128/3 * [2*cos(alpha)*(-sin(alpha))*sin(alpha) + cos²(alpha)*cos(alpha)]
= 128/3 * [-2*cos(alpha)*sin²(alpha) + cos³(alpha)]
= 128/3 * cos(alpha) * [-2*sin²(alpha) + cos²(alpha)]
= 128/3 * cos(alpha) * [-3*sin²(alpha) + sin²(alpha) + cos²(alpha)]
= 128/3 * cos(alpha) * [-3*sin²(alpha) + 1]
= 0
Jetzt schaut man sich die einzelnen Faktoren für 0 <= alpha <= pi/2 an:
1. cos(alpha) = 0
=> alpha = pi/2
V(pi/2) = 128/3 * 0 * 1 = 0 ist Minimum
(nicht weiter verwunderlich - die Zeltstangen sind jetzt zu einen Bündel zusammengefasst. Da ist halt wenig Platz ...)
2. 1 - 3*sin²(alpha) = 0
<=> sin²(alpha) = 1/3
<=> sin(alpha) = 1/Ö3
=> alpha = arcsin(1/Ö3) = 0,62 (das sind ungefähr 35,3°)
V(0,62) = 128/3 * (0,82)² * 0,58 = 16,42 ist Maximum |
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