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Beitrag |
    
Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 1999 - 22:12: | 
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Hallo,
leider muss ich mich in Sachen Sattel- und Wendepunkt melden. Der Sattelpunkt ist in meinem Buch leider sehr zu kurz gekommen (angeblich, weil es die erste Auflage ist..), weshalb ich mir folgendes gedacht habe:
- an einem Wendepunkt ändert die Kurve ihre Krümmung. Das hat nichts mit dem Monotonieverhalten zu tun. Die Steigung der Tangente am Wendepunkt ist also nicht 0, sie ist dort maximal. Was also ein Wert > oder < 0 ist, je nachdem welche Krümmung vorliegt.
- an einem Sattelpunkt ändert die Kurve ihr Monotonieverhalten insgesamt. Die Vorzeichen drehen sich um. Also ist doch an für sich die Tangentensteigung am Sattelpunkt = 0, oder ?!?
Jetzt kommts! Ich habe die f(x) = x^3+x-2
Dabei scheint aber ein Sattelpunkt und ein Wendepunkt gleichzetig vorzuliegen, und ausserdem hat der Wendepunkt noch die Tangentensteigung 1!!! Damit könnte es eigentlich kein Sattelpunkt mehr sein.
Also, irgendwie kommt da aber noch etwas durcheinander! Kann das jemand aufräumen ;-) ?
Schönen Abend noch,
Tom |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 1999 - 00:20: |
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Thema Sattelpunkt : Ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt mit der Steigung 0.
Das Monotonieverhalten ändert sich nicht,denn sonst läge ja ein Extrem vor.
Bei Deiner Aufgabe ist f'(x)=3x2+1 und f''(x)=6x,also ist W(0;-2) Wendepunkt,aber sicher kein Sattelpunkt.Für einen Sattelpunkt ist nämlich f'(x)=f''(x)=0 ! |
Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 1999 - 10:20: |
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Hi Ingo,
tja, dicht daneben ist auch vorbei. Das hier hat einiges korrigiert...
Man kann also auch nicht auf Anhieb am Graph erkennen, ob ein SP vorliegt (ok, in etwa durch die gestauchte Form, aber ...)
Vielen Dank,
Thomas |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 1999 - 17:40: |
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Hallo ...
Doch, kannst Du "eigentlich" schon. Wie Ingo gesagt hat, ist ein Sattelpunkt nichts anderes als ein Wendepunkt mit dem Anstieg null.
Man kann es auch so ausdrücken: Eine Sattelpunkttangente ist parallel zur X-Achse (wie eine Extrempunkttangente), aber schneidet die Funktion (und berührt sie nicht) in diesem Punkt.
Beispiel: Sattelpunkt ist bei d. Funktion x^3 bei x=0. Tangente: y=0, aber schneidet x^3 ...
Guck Dir das mal genau an, dann weisst Du was mit Sattelpunkt gemeint ist.
Ciao,
Daniel |
Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Oktober, 1999 - 22:29: |
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Hi Daniel,
ja gut, man kann es annehmen, wenn ein Sattelpunkt vorliegt. Ich habe mal verschiedene Graphen (schreibt man ja jetzt als "Grafen" :-) angeguckt.
Jetzt ist die Sache geklärt!! Die Unterscheidung WP / SP Ist ja auch wichtig, wenn man Funktionsgleichungen aufstellen will aus gegebenen Eigenschaften...
Viele Grüsse
Tom |
Willi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 1999 - 14:15: |
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Hallo!
Wendepunkt: [xw,f(xw)] ist Wendepunkt, wenn gilt:
f''(xw)=0
f'''(xw) (ungleich) 0
Satteltpunkt:[xs,f(xs)] ist Sattelpunkt,wenn gilt:
f'(xs)=0
f''(xs)=0
f'''(xs) (ungleich) 0 |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 1999 - 23:43: |
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Das ist hinreichend,aber nicht notwendig.
Betrachte z.B. f(x)=x21. Hier sind die Ableitungen f(k)(0)=0 für k=1..20 und f(21)(0)=21! Es liegt ein Sattelpunkt vor. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 19:32: |
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Es ist zwar hinreichend, aber die Bedingung f"(x) = 0 ist für einen Wendepunkt notwendig, denn:
bei einem WP hat die erste Ableitung ein Extremum, dieses Extremum liegt aber nur dann vor, wenn gilt:
f"(x) = 0 !!! (NOTWENDIGE Bedingung für EP) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 1999 - 15:45: |
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Die Bedingung f'''(x)=0 reicht nicht, um eine hinreichende Bedingung aufzustellen! Dafür benötigt man so oder so eine Umgebungstabelle oder ähnliches! Erklären warum dauert hier zu lange!!! |
Fritz
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 15:49: |
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wie berechnet man einen sattelpunkt. Bitte eine einfache Erklärung. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 16:52: |
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Hallo Fritz,
Hier ist die Kopie einer Antwort, die ich heute weiter unten gegeben habe:
Montag, den 29. Mai, 2000 - 16:47
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Hallo Nina,
Zur Bestimmung von Extremstellen und Sattelpunkten.
Wir ermitteln zuerst "kritische Punkte" xi, dies sind alle Stellen für die f'(xi)=0 ist.
Extrema und Sattelpunkte können nur in solchen Punkten auftreten.
(Sattelpunkt = Wendepunkt mit zur x-Achse parallelen Tangente)
Um zu entscheiden, welche Art vorliegt, bilden wir höhere Ableitungen so lange bis diese nicht Null sind.
Dann gilt die Regel:
Ist die Ordnung der Ableitung, die an der Stelle x=xi erstmalig nicht verschwindet, gerade, dann besitzt f(x) dort ein relatives Extremum: für einen negativen Wert ein relatives Maximum, für einen positiven Wert ein relatives Minimum.
Ist die Ordnung dieser Ableitung ungerade, dann besitzt die Funktion an dieser Stelle keinen Extremwert, sondern einen Wendepunkt.
Unser Beispiel f(x)=x4-4x³+27
f'(x)=4x³-12x²
kritische Punkte: f'(x)=0
x1=0 und x2=3
f"(x)=12x²-24x
f"'(x)=24x-24
f'(0)=0
f"(0)=0
f"'(0)=-24....also ungerade Ordnung: Sattelpunkt.
f'(3)=0
f"(3)=36....gerade Ordnung, Wert positiv: Minimum. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 09:53: |
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Neugierig: Wie sieht es eigentlich bei einem Sattelpunkt einer räumlichen Fläche aus? Franz |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 10:49: |
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Hi franz,
Dies bringt uns ins Gebiet der Funktionen von mehreren Variablen.
Im R³
Fläche: z=f(x,y)
fx und fy bezeichnen partielle Ableitungen.
Kritische Punkte dort wo:
fx(a,b)=0 und fy(a,b)=0
oder:
dort wo fx oder fy nicht existieren.
Dann testen mit höheren Ableitungen:
d=fxxfyy - (fxy)² (natürlich immer an der Stelle (a,b))
Falls d>0 und fxx>0 dann hat f ein relatives Minimum bei (a,b).
Falls d>0 und fxx<0 dann hat f ein relatives Maximum bei (a,b).
Falls d<0 dann ist (a,b,f(a,b)) ein Sattelpunkt.
Falls d=0 ist der Test ohne Konclusion. |
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