| Autor |
Beitrag |
    
Joana
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 15:54: | 
|
Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Wieviele Diagonalen gibt es in einem n-eck?
Beweise durch vollständige Induktion! |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 16:25: |
|
Also, durch normales Denken wissen wir ja, daß es n*(n-3)/2 sind. Warum? Weil jede Ecke zu jeder anderen Ecke eine Diagonale hat -- bis auf zu sich selber und zu den Nachbarecken (das sind nämlich dann die Seiten). Dann haben wir allerdings alle Diagonalen in beide Richtungen gezählt, also noch durch 2 teilen.
Aber Hauptsache wir haben die "vermutete" Formel.
Induktionsanfang: 3eck.
Also n=3. Wir vermuten n*(n-3)/2 = 3*0/2 = 0 Diagonale. Hat auch gestimmt.
Induktionsannahme:
Nehmen wir an, unsere Formel gälte für alle Vielecke bis n (also 3-, 4-, 5-, ..., n-Ecke).
Induktionsschritt:
Betrachte ein n+1 - Eck. Merke dir eine Ecke, gehe von dieser 2 Ecken in die Richtung deiner Wahl weiter. Verbinde diese neue Ecke mit der gemerkten. Das ist eine Diagonale. Und sie schneidet ein Dreieck ab.
In diesem entstandenen n-Eck sind nach Induktionsannahme schon mal n*(n-3)/2 Diagonalen. Im n+1-Eck kommen dazu noch die Diagonale, die den Schnitt machte, und die n-2 Verbindungen zu den weiteren Ecken des n-Ecks dazu. Macht also insgesamt
n*(n-3)/2 + 1 + n-2 = (n²-3n)/2 + 1/2 + (2n-4)/2 =
= (n² - n - 3)/2 = (n+1)*(n-2)/2
Diagonalen. Und wenn Du genau hinschaust, kannst Du darin genau die vermutete Formel auf "n+1" angewendet erkennen.
Beweis fertig. |
|
