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Brauche ganz dringend Hilfe, Gleichun...

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Nina
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Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 14:49:   Beitrag drucken

Hallo ich brauch mal ganz dringend eure Hilfe. Und zwar habe ich echt egal wie ich's versuch keinen Plan bei der folgenden Aufgabe.
Gegeben sei der Garph einer Funktion f mit f'(a) ist ungleich 0:
a) Gib die Gleichung der Normalen des Graphen der Funktion f an der Stelle a an.
b) Bestimme die Schnittpunkte diser Normalen mit den Koordinatenachsen.
c) Wie würde die Normale verlaufen wenn f'(a) = 0
wäre?
Bitte versucht so schnell wie möglich zu antworten. Danke!!!

Übrigens : Danke an Michael für das Schnelle Antworten am Samstag.
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 15:27:   Beitrag drucken

a)Wenn du an einen Punkt P(a,f(a)) eines Graphen eine Tangente zeichnest, so hat diese die Steigung m=f'(a) und sie muß durch den Punkt P gehen. Die Normale ist die Gerade, die senkrecht auf der Tangenten steht und auch durch den Punkt P geht.

Eine Gerade h (y=nx+c) steht senkrecht auf einer Geraden g (y=mx+b mit m<>0), wenn n=-1/m ist.

Die Normalengleichung hat also die Form y=(-1/f'(a))*x+b und geht durch den Punkt P(a,f(a)).
Damit ist dann
f(a)=(-1/f'(a))*a+b also b = f(a)+a/f'(a) und letztendlich
y = (-1/f'(a))*x + f(a) + a/f'(a)

Die Normalengleichung wird auch oft in der folgenden Form geschrieben
y-f(a) = (-1/f'(a))*(x-a)

b) Schnittpunkt (0,y0) mit der y-Achse <=> x=0
y0 = f(a) + a/f'(a)

Schnittpunkt (x0,0) mit der x-Achse <=> y=0
x0 = f(a)*f'(a) + a

c) Ist f'(a)=0, so liegt die Tangente parallel zur x-Achse: y=f(a)
Die Normale liegt also parallel zur y-Achse: x=a
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Ysanne (Ysanne)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 15:49:   Beitrag drucken

Die Normale im Punkt A = (a | f(a)) ist doch die Gerade, die durch den Punkt A geht und senkrecht auf die Tangente in diesem Punkt ist. Malen wir mal das in einem einfachen Fall hin:
normale

Das graue Dings ist ein Beispiel für f(x). Die blaue Linie ist die Tangente im Punkt A, die rote die Normale.
Schauen wir uns zunächst die Steigungen an:
PQ/QA ist doch die Steigung der Tangente, und von der Funktion wissen wir, daß das gleich f'(a) ist. Die Steigung der Normalen ist dann RQ/QA. Das Dreieck QAR ist aber Ähnlich zum Dreieck PAQ (schau dir die Winkel an!), und das heißt, daß die Seitenverhältnisse gleich sind. Also
|PQ|/|QA| = |QA|/|QR|
Darum ist also die Steigung der Normalen
RQ/QA = -PQ/QA = - 1/f'(a)
Das Minus kommt von hier: Wenn die Tangente steigt, fällt die Normale; fällt die Tangente, steigt die Normale. Mit ein paar hingemalten Beispielen (Tangente steigt, waagrecht, fällt) kannst du auch selbst sehen warum.

Die Normale (nennen wir sie n(x)) hat die Gleichung n(x) = -1/f'(a) *x + t, wobei wir das t noch rausbekommen müssen.
Wir wissen ja, daß das Ding bei x=a durch y=f(a) geht. Also
f(a) = n(a) = -1/f'(a) *a + t
=> t = f(a) + a/f'(a)

Die Gleichung der Normalen ist also
n(x) = -1/f'(a) *x + f(a) + a/f'(a)

Siehst du jetzt auch warum f'(a) nicht 0 sein darf? Damit wir nicht durch 0 teilen!

Die Schnittpunkte gehen schnell:
y-Achse: Die ist da wo x=0. n(0)=f(a)+a/f'(a). Also ist der Schnittpunkt bei (0 | f(a)+a/f'(a)).
x-Achse: Da muß gelten n(x) = 0. Also
-1/f'(a) *x + f(a) + a/f'(a) = 0
-1/f'(a) *x = -f(a) - a/f'(a)
x = f'(a)/f(a) + a
Schnittpunkt also bei (0 | f'(a)/f(a) + a).

Die c mußt Du nach all dem hier nun wirklich selber beantworten können.

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