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Mist ..ich hoffe es kann mir jetzt no...

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TKM
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 21:04:   Beitrag drucken

also folgende aufgabe:
in einem quadrat mit der seite a=10 wird ein zweites quadrat eingezeichnet, indem die mittelpunkte der seiten miteinander verbunden werden. und so immer weiter. wie groß is die summe aller flächeninhalte der quadrate?

da blick ich total nicht durch... ich weiß net wie man den flächeninhalt des zweiten quadrates rauskriegen soll...
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Dj3000
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 21:59:   Beitrag drucken

Also das kann ich dir sogar sagen!
Das erste Quadrat hat eine Seite von a= 10. Also ein Flächeninhalt von 100 cm².

Das 2te quadrat hat eine seite von a=5.
Das Quadrat hat dann also ein FLächeninhalt von 25 cm².
Dann hätten wir gegeben:
a=10 oder A= 100 cm²
a2=5 oder A= 25 cm²
q= 1/2 oder 1/4
usw.
Aber das geht ja ins Unendliche.
Keine ahung wie man das ausrechnen soll.
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TKM
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 22:49:   Beitrag drucken

häh? ne das zweite hat nicht a=5... dann wärs ja net so schwer...
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 00:37:   Beitrag drucken

Es ist noch einfacher, denn es geht nicht ins Unendliche. Dj3000's Vermutung ging schon in die richtige Richtung, aber nicht die Seitenlängen halbieren sich fortwährend, sondern die Flächeninhalte, so dass du für die Summe aller Flächeninhalte bekommst:

s = 100 + 100/2 + 100/4 + 100/8 + 100/16 + ...
= 100( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
= 100 * 2 = 200 cm2

Ach ja, du wolltest erstmal wissen, wie du an den zweiten Flächeninhalt herankommst:
Die neue Seite a2entspricht der Diagonalen des Quadrats mit der Seitenlänge a/2. Und wie berechnet man die Diagonale eines Quadrats? Richtig, mit Ö2 multiplizieren. Also:
a2 = a1/2 * Ö2

Mach dir notfalls eine Skizze mit dem großen Quadrat mit der Seitenlänge a, das du dann in vier kleinere Quadrate unterteilst, von denen eines eine Diagonale bekommt, die gleichbedeutend ist mit der nächstkleineren Seitenlänge a2.

Du kannst die Flächeninhalte der Quadrate als geometrische Folge darstellen:

An = a1 * qn-1 = 100 * 0,5n-1 = 200 * 0,5n

Die Summe der n ersten Glieder einer geometrischen Folge errechnet sich gemäß:

sn = a1(qn - 1)/(q - 1)
= 100((1/2)n - 1)/(1/2 - 1)
= 100(1/2n - 1)/(-1/2)
= -200(1/2n - 1)
= 200(1 - 1/2n)

Da wir es aber nicht mit einem endlichen Wert für n zu tun haben, müssen wir zu einem Grenzwert greifen:

limn -> oo 200(1 - 1/2n) = 200 * limn -> oo (1 - 1/2n)
= 200 * (1 - limn -> oo 1/2n)
= 200 * (1 - 0)
= 200 cm2

Du weißt doch, was ein Grenzwert ist, oder?

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