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Dj3000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 18:58: | 
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Vielleicht wenn die Funktion dem Grenzwert nicht näher kommt sondern sich von dem Grenzwert abwendet. Also weggeht. *g*
Ist überhaupt jemand da?
Auf meinem letzten Beitrag hat auch keiner geantwortet  |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 12:49: |
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Erst einmal erkläre ich dir was ein Grenzwert ist, ok? Genauer, was "lim{x->unendlich} f(x)= a" eigentlich heißt.
Eigentlich ist das folgendes:
Für jedes e > 0 gibt es ein Xe, für das gilt: x > Xe => |f(x)-a| < e
Daß das unverständlich ist, weiß ich. Darum mal näher und im Detail:
Praktisch gesehen stelle man sich einen belieblig dünnen Schlauch um die Gerade y = a vor. Um genau zu sein ist der Radius von diesem Schlauch e. (e benutzt man für ganz kleine positive Zahlen.) Und dann sagt die Definition: Es gibt irgendeine Stelle Xe auf der x-Achse, ab der die Funktion nicht mehr aus diesem Schlauch rauskommt.
Dann nehmen wir mal noch einen dünneren Schlauch mit noch einem kleineren e. Für diesen gibt es dann ein anderes Xe (natürlich größer oder gleich dem von vorher), für den die Funktionswerte aus diesem dünneren Schlauch auch nicht mehr rauskommen.
Dann nehmen wir noch einen dünneren Schlauch, für den gibt's auch ein X...
Wir können den Schlauch immer dünner machen, und die Funktion muß ab einem gewissen Punkt (jeder Schlauch hat natürlich einen eigenen) im Schlauch bleiben.
Das heißt, die Funktion muß beliebig nahe an a rankommen. Dann ist a der Grenzwert.
Eine Aussage daß "eine Funktion dem Grenzwert nicht näherkommt" ist völlig sinnlos. Der Grenzwert existiert ja erst dadurch, daß die Funktion beliebig nah an ihn kommt, je größer das x wird. Erst muß die Funktion hingehen (=konvergieren), dann erst gibts den Grenzwert. Nicht umgekehrt.
Von daher sagt man nicht "wann hat eine Funktion keinen Grenzwert" sondern sucht nach den eher seltenen Fällen, wenn eine Funktion einen hat.
Beispiele:
- 1/x2 hat für x->unendlich den Grenzwert 0.
- x+3 hat für x->unendlich keinen Grenzwert. Einige schreiben trotzdem "unendlich" hin, ist aber nicht wirklich einer, jedenfalls im |R.
- sin(x) ist zwar immer zwischen 1 und -1, hat aber trotzdem keinen Grenzwert, da es aus jedem kleineren Tunnel zwischen diesen beiden Werten immer wieder rausschwingt. |
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