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Angela
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 09:28: | 
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Ich brauche einen Tip, wie das zu berechnen ist:
P sei ein beliebiger Punkt auf dem im 1. Feld verlaufenden Bogen der Parabel mit der Gleichung y=-x²+2 Die Normale in P schneide die x-Achse in S. Für welchen Punkt P auf dem genannten Parabelbogen liegt S am weitesten "links"? |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 12:16: |
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P liegt auf der Parabel: P(u|-u²+2) u>0 und 2-u²>0 (1.Feld)
Normale in P:
Steigung der Normalen m=-1/f'(u)
f'(u) ist die Steigung der Tangenten in P
Normalensteigung: m=1/(2u)
Normalengleichung (Punkt-Steigungs-Form):
y-(-u²+2)=(1/(2u))*(x-u)
y= (1/2u)x + u² - 5/2
diese Normale schneidet die x-Achse in S:
0 = (1/2u)x + u² - 5/2
==> x(u) = 5u - 2u³ x-Koordinate von S in Abh. von u
dieser Wert soll möglichst klein sein (am weitestens links)
x'(u)=0 ==> u=Wurzel(5/6)
damit ist S(5*Wurzel(5/6)-2*[Wurzel(5/6)]³|0) und P(Wurzel(5/6)|(7/6)) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 13:48: |
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Hi Angela , Hi Michael ,
Bei der Lösung von Michael haben sich Fehler eingenistet:
Die Auflösung nach y in der achten Zeile muss richtig lauten:
y = - u ^ 2 + 2 + 1 / (2 u) * x - ½ = 1/ (2u ) * x - u ^ 2 + 3/2
Setzt man darin y = 0 ( Schnitt der Kurvennormalen
mit der x -Achse ), so kommt:
x = xS = 2 u ^ 3 - 3 u ; für u gilt das Intervall [0, wurzel(2)]
Minimum für u = ½ * wurzel(2), zugehöriger xS-Wert:
xS = - 2 u = - wurzel(2).
Für den gesuchten Punkt P auf der Parabel gilt:
P( ½ * wurzel(2) / 3/2 ); Irrtümer vorbehalten !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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