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Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:50: | 
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Gegeben seien 2 Punkte
P (1; 2)
Q (10; 8)
Gesucht ist die Kurve, welche die Menge aller möglichen Scheitelpunkten von Parabeln die diese zwei Punkte beinhalten darstellt. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 13:07: |
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y = g(x) = 19/6 + x/3 - 27/(22 - 4x)
Wie ich das gerechnet habe? Das kann noch ein bißchen dauern, bis ich das rekonstruiert habe, denn nur weil ich ein Zeichen formatiert habe, wurde die ganze Erklärung gelöscht. Und die war laaaang. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 21:58: |
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Hi Martin ,
ich habe diese Monsteraufgabe durchgerechnet und komme auf dasselbe Resultat, ein Bravo für beide.
Ich halte mit der ausführlichen Lösung zurück, um Dir als "Erstlöser"
den Vortritt zu überlassen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 10:28: |
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Hi,
Die Funktion g(x), deren Graph die Ortskurve Parabelschar ist,
hat eine bemerkenswerte Eigenschaft :
sie hat an der Stelle x = xo = 11 / 2 einen Pol.
Dieser x-Wert ist gerade das arithmetische Mittel der x-.Werte
der festen Punkte P und Q, durch die jede Kurve der Schar geht.
Dies hängt mit der bekannten Eigenschaft der Parabeln mit
vertikalen Achsen zusammen, dass die Tangente durch den
Punkt Po(xo/ f(xo) einer solchen Parabel zur Parabelsehne
PQ parallel ist.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 16:14: |
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Es soll bitte endlich jemand die Herleitung schreiben ! Bitte ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 17:40: |
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Hi Prolli !
Bitte Gemach ,bitte Gemach !
Achtung Vorsicht !
Is cool man !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 19:31: |
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Hi Prolli,
Nun habe ich Zeit gefunden, Deine interessante Aufgabe zu lösen.
Der Rechengang ist recht aufwendig und fordert viel Schreibarbeit.
Vielleicht gibt es einen kürzeren Weg, ,wer weiss.
Jedenfalls fasse ich das Lösen dieser Aufgabe als
Wellnessprogramm auf !
Als Ansatz für die Parabelschar gelte y = a x^2 + bx + c ,
in der Annahme, dass die Parabelachsen zur y - Achse parallel sind.
(dies kommt in der Aufgabenstellung nicht zum Ausdruck).
Als Scharparameter verwende ich den Koeffizienten a bei x^2;
Dieser Koeffizient hängt bekanntlich eng mit dem Parameter p
der Parabel zusammen
Alle Daten, die wir nun ermitteln, werden wir durch a ausdrücken.
Der Punkt P(1/2) liegt auf der Kurve, somit gilt:
2 = a + b + c......................................................................................(1)
Der Punkt Q(10 / 8 ) liegt auf der Kurve, also gilt:
8 = 100 a + 10 b + c ..........................................................................(2)
Aus diesen beiden Gleichungen berechnen wir b und c ,
je durch a ausgedrückt: das Resultat ist:
b = ( 2 - 33 a ) / 3 ..............................................................................(3)
c = 10 a + 4/3 ....................................................................................(4)
Nun ermitteln wir die Koordinaten u und v des Scheitels S :
S(u/v).
Aus der Ableitung y ' = 2ax + b erhalten wir u als Nullstelle von y':
u = - b / 2 a..........................................................................................(5)
daraus v durch Einsetzen in die Parabelgleichung
in vereinfachter Form:
v = - b ^ 2 / (4 a ) + c ...........................................................................(8)
In die Terme für u und v setzen wir die Ergebnisse aus den Gleichungen
(3) und (4) ein.
Nach sorgfältiger Rechnung kommt:
u = 11 / 2 - 1 / (3a).................................................................................(9)
v = - 1 / (4a) *(2-33a)^2 / 9 + (30 a + 4) / 3
Der letzte Ausdruck wird umgeformt zu
v = - 1 / (36 a) * [ 729 a^2 - 180 a + 4 ] ..............................................(10)
Mit den Gleichungen (9) und (10) haben wir eine
Parameterdarstellung der gesuchten Ortskurve der
Scheitelpunkte vor uns,und wir können Feierabend machen .
Eliminiert man daraus noch den Parameter a , so erhält man die
gesuchte Gleichung der Kurve, in der v als eine gebrochene rationale
Funktion in u auftritt in der Form v = v(u).
Diese Rechnung wird in einer Fortsetzung ausgeführt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 21:07: |
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Hi Prolli,
Ich nehme den Faden der Ariadne wieder auf und wickle die
Gleichung (9) nach a auf ; es entsteht die Beziehung
a = 2 / 3 * 1 / ( 11 - 2u ).............................................................................(11)
Man erkennt im Nenner bereits den von mir früher zitierten
Pol an der Stelle v = 11 / 2, an und für sich ein gutes Omen.
Wir setzen diesen Wert für a in die Gleichung (10) ein;
damit ist dann der Parameter a eliminiert..
Wir erhalten:
v = - 1 / 24 * [324 / ( 11 - 2 u ) - 120 + 4 * ( 11 - 2u ) ] =
= - 1 / 6 * [ 81 / (11- 2u ) - 19 - 2 * u ]
Als Schlussresultat schreiben wir als Funktionsgleichung der
Ortskurve der Scheitelpunkte S(u/v) der gegebenen Parabelschar:
v = u / 3 + 19 / 6 - 27 / ( 22 - 4 u ).
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Anmerkung:
Man kann eine kleine Probe aufs Exempel machen.
Wir berechnen den Schnittpuinkt R der Ortskurve mit der y -Achse
xR = 0, y R = v (0) = 19 / 6- 27 / 22 = 64 / 33.
Da diese Parabel ihren Scheitel R auf der y-Achse hat, lautet ihre
Gleichung
y = a * x ^ 2 + 64 / 33.
a bestimmen wir durch die Bedingung , dass die Parabel durch P(1/2) geht.
Wir ermitteln : a = 2 / 33.
Die Gleichung dieser Parabel lautet somit:
y = 2 / 33 * x ^ 2 + 64 / 33.
UND siehe da, diese Parabel geht auch durch den Punkt Q(10 / 8 ) ,
wie man durch Einsetzen der Koordinaten von Q bestätigen kann.
Damit sind wir am Ziel angelangt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Mose,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 22:15: |
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Hi Prolli,
Nach solch umfangreichen Rechnungen sollte man
unbedingt das Ergebnis etwas näher ansehen und entsprechend
würdigen.
Die Ortskurve ist eine Kurve zweiter Ordnung in den beiden
Variablen, die wir wiederum mit x und y ,statt mit u und v bezeichnen.
Dies erkennt man beim Wegschaffen des Bruches:
es tritt das Glied x * y auf.
Die Kurve hat zwei Asymptoten , eine vertkale a1 und eine schiefe a2.
Die Gleichung von a1 lautet: x = 5,5 , diejenige von a2:
y = x/3 +19/6
Die Kurve ist somit eine Hyperbel.
Der Schnittpunkt M der Asymptoten ist der Mittelpunkt der Hyperbel;
dieser Punkt mit xM = 5,5 , yM = 5 ist zugleich der Mittelpunkt der
Strecke PQ.
Die Punkte P und Q liegen selbst auf der Hyperbel !
Das sind höchst interessante Phänomene .
Bevor wir weitere entdecken, machen wir endgültig Schluss!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 11:30: |
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Vielen Dank für diese ausführlichen Berechnungen.
Kann man denn die Hyperbel nicht auf die Form
y = a / (x+b) + c
bringen ?
Gruss, Pascal |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 13:59: |
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Hi Pascal ,
Deine Frage muss verneint werden.
Wohl handelt es sich auch bei Deiner Kurve k*
mit der Gleichung y = a / ( x + b ) + c um
eine Hyperbel.
Im Gegensatz zur Ortskurve k , deren Gleichung
y = 1/3 * x + 19 / 6 - 27 / ( 22 - 4 x ) lautet und
deren Asymptoten einen schiefen Winkel bilden,
handelt es sich bei k* um eine Hyperbel, deren
Asymptoten aufeinander senkrecht stehen ,
d.h. k* ist eine Normalhyperbel.
Zwischen den beiden Hyperbeln liegt ein struktureller
Unterschied vor, und es gelingt unter keinen Titeln,
a , b und c so zu wählen, dass k* in k übergeht.
Bemerkung zur Ermittlung der Asymptoten von k*
1)
Pol bei x = - b :
Asymptote a1 parallel zur y - Achse :Gleichung x = - b
2)
Der Grenzwert G von y für x gegen unendlich existiert;
es gilt G = c; somit ist die Parallele mit der Gleichung y = c
die zweite Asymptote a2 von k*.
Wegen a1 senkrecht a2 ist k* in jedem Fall eine Normalhyperbel.
Die Asymptoten der Hyperbel k wurden in der vorhergehenden
Arbeit bestimmt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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