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Beitrag |
    
Matthias Klein (Alfthecalf)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 18:32: | 
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Hilfe! Unser Subba Mathe-Lehrer hat uns vor kurzem eine dolle Aufgabe gestellt, die da lautet:
Nach oben geöffnete Normalparabel/Scheitelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Die Parabel soll g berühren.
Geg.: g:y=-2x+5
Ges.: Wo liegt der Scheitelpunkt? Wo liegt der Berührpunkt?
Ich weis absolut nicht, wie ich da ran gehen soll. Mir kommt es so vor als würde da etwas fehlen.
Wir schreiben am Montag ne Schulaufgabe (...11.Klasse BOS...) ich seh total schwarz. Hab auch noch andere seltsame Aufgaben auf Lager...die post ich aber später ;) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 20:49: |
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Hi Matthias,
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Wir setzen als Gleichung der gesuchten Parabel,
deren Achse zur y-Achse parallel ist, die
Funktionsgleichung an::
y = a x ^ 2 + b x + c ; da es sich um eine Normalparabel
handeln soll, gilt a = 1,woran wir uns halten wollen.
Wir berechnen zuerst die Koordinaten xS und yS des
Scheitelpunktes S.
xS ist die Nullstelle der Ableitung y' = 2 x + b , also
xS = - b / 2 ; diesen Wert setzen wir in die Funktionsgleichung
ein und bekommen:
yS = c - b ^ 2 / 4
Da S auf der Winkelhalbierenden der ungeraden Quadranten
liegen muss, gilt yS = xS , also:
4 c - b ^ 2 + 2 b = 0............................................................(1)
Die Berührungsbedingung realisieren wir mit der sogenannten
Diskriminantenmethode, d.h. wir schneiden die Parabel mit der
Geraden g durch Gleichsetzung der y-Werte und fordern,
dass die entstehende quadratische Gleichung für die x-Werte
der Schnittpunkte eine Doppellösung aufweist.
Die Doppellösung entspricht dann dem x-Wert des
Berührungspunktes von g mit der Parabel.
Ausführung
Schnitt von g mit der Parabel:
-2 x + 5 = x^2 + b x + c, oder geordnet:
x ^ 2 + (b+2) x + c - 5 = 0
Diskriminante D diese quadratischen Gleichung in x:
(b+2) ^ 2 - 4 (c-5) oder
b^2 + 4 b - 4 c + 24 = 0......................................................................(2)
Aus (1 ) und (2) findet man das eindeutigen Lösungspaar
b = - 4 , c = 6.
==========
Die Gleichung der gesuchten Parabel ist .
y = x ^ 2 - 4 x + 6 , der Scheitel hat die Koordinaten
xS = yS = 2,
der Berührungspunkt B hat die Koordinaten
xB = 1 , yB = 3.
Wir freuen uns alle auf weitere Kostproben aus dem
Workshop Deines Lehrers!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 21:16: |
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Die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, deren Kurve den Scheitelpunkt S(xS/yS) besitzt, lautet:
f(x) = (x - xS)2 + yS
Da der Scheitelpunkt auf der besagten Winkelhalbierenden (y=x) liegt, gilt: yS = xS. Wir nennen diese Zahl einfach mal a. Also:
f(x) = (x - a)2 + a
Wir suchen nun den Schnittpunkt der dazugehörigen Kurve mit der Geraden zur Funktionsgleichung y=-2x+5:
(x0 - a)2 + a = -2x0 + 5
x02 - 2a + a2 + a = -2x0 + 5
x02 - 2(a - 1)x0 + a2 + a - 5 = 0
Eine quadratische Gleichung also. Wir wissen, dass die Graphen sich nur berühren und nicht zweimal schneiden sollen. Das heißt, die Diskriminante der pq-Formel muss gleich Null sein:
x0 = -p/2 ± Wurzel((p/2)2 - q)
x0 = a - 1 ± Wurzel((a - 1)2 - a2 - a + 5)
x0 = a - 1 ± Wurzel(a2 - 2a + 1 - a2 - a + 5)
= a - 1 ± Wurzel(6 - 3a)
Nun soll ja gelten:
6 - 3a = 0
3a = 6
a = 2
Also:
x0 = a - 1 ± Wurzel(0) = 2 - 1 = 1
Die beiden Graphen berühren sich also in dem Punkt P(1/g(1)), also P(1/3).
Nun bleibt uns nur noch, den Wert a=2 in die Funktionsgleichung für f einzusetzen:
f(x) = (x - 2)2 + 2 = x2 - 4x + 6
Aus der Scheitelpunktform kann man direkt die Scheitelpunktkoordinaten herauslesen:
S(2/2) |
Matthias Klein (Alfthecalf)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 12:14: |
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AHHHHHHHHHH!!! *lichaufgeh* Ich Doof! Genau! Ich muss erst über die Scheitelpunktsform hinaus um erst mal nen Ansatz zu haben. Dann ganz einfach den Berührpunkt der besagten Geraden errechnen... DANKE AN ALLE BEIDE!
Und wieder ein Stein auf der Brücke zum Erfolg ;)
Thx!
ALF |
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