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Melissa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 13:23: | 
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Also ich hab hier eine Aufgabe die ich überhaupt nicht kapiere!
Gegeben ist die Funktion
f(x)=1/8(xhoch4)-x²-9/8
A)weißt der Graph von f eine spezielle symnetrie auf?
B)Bestimmen sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse sowie den Schnittpunkt mit der y-Achse!
C)Die Gerade g geht durch die Punkte P(-3/f(-3)) und Q (0/f(0)). Bestimmen sie die weiteren Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graphen von f.
D)Wie muss der Graph von f verschoben werden, damit er genau 3 gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat? Geben sie die Koordinaten dieser Punkte!
Wenns geht bitte schnelle Hilfe!! Danke!!!!!!!! |
Markus B. (Markusman)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 14:37: |
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Hallo Melissa,
zu A.
Der Graph Deiner gegebenen Funktion hat als Symmetrieachse die y-Achse. Er sieht aus wie eine Parabel mit eingeschlagenem Unterbogen im Intervall [-2;2].
zu B.
Für die Schnittpunkte mit der x-Achse muß f(x)=0 sein. 1/8*(x^4)-x^2-(9/8) = 0.
Substituiere u=x^2, dann gilt
1/8*(u^2)-u-(9/8) = 0.
Quadratische Gleichung: Lösung mit p-q-Formel.
u1=-1 u2=9
x1= 1 x2=81
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Für den Schnittpunkt mit der y-Achse gilt x=0.
Einsetzen von x=0 in die Funktion ergibt.
y=-9/8
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In dieser Art und Weise bestimmen sich die Antworten Deiner weiteren Fragen C) und D).
Gruß Markus |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 15:03: |
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a)In f(x) kommt x nur in graden Potenzen auf. Also ist der Graph achsensymmetrisch.
Der Faktor von x^4 ist positiv. Damit ist der Graph nach oben geöffnet.
b)Schnittpunkt mit der y-Achse <=> x=0
f(0)=-9/8
Schnittpunkte mit der x-Achse <=> y=0
0 = 1/8*x^4-x²-9/8 = 1/8(x^4-8x²-9) = 1/8(x^4-2*4x²+16-25) = 1/8[(x²-4)²-25] = 1/8[(x²-4)+5][(x²-4)-5]
= 1/8(x²+1)(x²-9) = 1/8(x²+1)(x+3)(x-3)
Die Nullstellen sind x1=-3 und x2=3
c)Die Gerade g geht also durch die Punkte P(-3,0) und Q(0,-9/8).
Damit läßt sich die Geradengleichung aufstellen:
g(x)= (0+9/8)/(-3-0)*x-9/8 = -3/8*x-9/8
Die Schnittpunkte von f und g bekommst du heraus, wenn du beide Funktionen gleichsetzt
f(x)=g(x), also die Gleichung f(x)-g(x)=0 löst.
f(x)-g(x) = 1/8*x^4-x²-9/8+3/8*x+9/8 = 1/8*x^4-x²+3/8*x = 1/8(x^4-8x²+3)
Von den Nullstellen dieser Funktion sind dir schon 2 bekannt - nämlich die beiden gegebenen Schnittpunkte
bei -3 und 0. Jetzt kannst du die Funktion f-g durch x(x+3) = x²+3x teilen (Polynomdivision) und erhälst
p(x) = (x^4-8x²+3) : (x²+3x) = x²-3x+1.
Die Nullstellen von p (3/2+wurzel(5)/2 und 3/2-wurzel(5)/2) mußt du jetzt noch in g einsetzen, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen.
d)Mit 'nem bißchen Differentialrechnung berechnen wir uns mal die Extremwerte von f:
f'(x) = 1/2*x³-2x = 1/2*x(x²-4) = 1/2*x(x+2)(x-2)
Kandidaten für Extremwerte sind also 0,-2 und 2.
f"(x) = 3/2*x²-2 ergibt
f"(0) = -2 (rel.Maximum)
f"(-2)=f"(2) = 4 (rel. Minimum)
Man erhält also eine weitere Nullstelle, wenn man f soweit nach oben verschiebt, daß f(0)+k=0 wird.
f(0)+k=-9/8+k=0 => k = 9/8
Die Funktion h(x) = f(x) + 9/8 = 1/8*x^4-x² muß also 3 Nullstellen haben:
1/8+x^4-x² = 1/8*x²(x²-8) hat denn auch die Nullstellen 0, -wurzel(8) und wurzel(8)
der Funktionenplotter hat da auch sehr geholfen
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N.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:06: |
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Hi Markus,
Um nochmal auf den Fehler in deiner Nullstellenberechnung zurückzukommen.
Du hast falsch zurücksubstituiert:
-1=u1=x²
Diese Gleichung hat keine reelle Lösung.
9=u2=x²
x=3 und x=-3
Curious hat den Fehler ja mehr oder weniger wissentlich korrigiert.
Gruß N. |
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