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Danni
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 17:04: | 
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Hallo,
nur eine kurze Frage: darf man in Integralen erweitern (durch hinzumultiplizieren oder -addieren von Werten)???
Ein Beispiel:
Ich soll das Intergral von tan(x)^2 berechnen. Ich schreibe nun tan(x)^2 als sin(x)^2/cos(x)^2. Darf ich jetzt z.B. im Zähler und Nenner plus cos(x)^2 rechnen???
Ich hätte dann oben sin(x)^2+cos(x)^2=1 und unten 2*cos(x)^2. Dann 1/2 herausziehen. Das Intergral von 1/cos(x)^2 ist bekannt als tan(x). Leider steht im Lösungsbuch aber nicht tan(x)/2 sondern tan(x)-x.
Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank im Vorraus
Danni |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 17:28: |
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Um Gottes Willen: NEIN !!!
Gegenbeispiel: 2/3 <> (2+2)/(3+2) = 4/5
Du darfst auf jeden Fall erweitern !!!
Hier der Ansatz zum Lösen des Integrals:
tan²x = sin²x/cos²x = sin²x/(1-sin²x)
setze u:=sinx => du/dx = cos(x)=sqrt(1-sin²x)=sqrt(1-u²)
also sin²x/(1-sin²x)·dx = {u²/(1-u²)}·1/sqrt(1-u²)... |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 17:40: |
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Nicht böse sein (ist nicht so ernst gemeint) ;-)
BESSER:
setze u:=tan(x) => du/dx = 1+tan²(x) = 1+u²
dx = du/(1+u²)
also gilt Integral(tan²(x))dx = Integral(u²/(1+u²))du usw. usf.
Ciao Lars |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 08:40: |
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Hallo !
NOCH BESSER:
man weiß, daß (tan(x))' = 1/cos²(x) = (sin²(x)+cos²(x))/cos²(x) = 1+tan²(x)
Berechne jetzt das Integral mit Hilfe von:
Int(tan²x) = Int([1+tan²x]-1) = Int(1+tan²(x))-Int(1) = tan(x) - x + C
Ciao, Lars
P.S.: man spart sich den ganzen Aufwand mit der partiellen Integration !!! |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 10:47: |
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Vielleicht bereinigen wir die Sache am besten vom Konzept her: Erweitern eines Bruches ist das MULTIPLIZIEREN des Zählers und des Nenners mit der gleichen Zahl. Schließlich ist der Bruch ja eigentlich ein "Teilen", bei dem es nicht auf Faktoren, die in Dividend und Divisor gleichermaßen vorkommen, ankommt. Mal bildlich:
10 geteilt durch 1 ist das selbe wie 10*10 geteilt durch 10. Schließlich mache ich beides um den selben Faktor größer, die "hineinpassen"-Eigenschaften ändern sich nicht.
ADDIEREN dagegen verhält sich wesentlich weniger harmlos: 10 : 1 ist nicht (10+10) : (1+10). Das ist auch kein Erweitern.
Erweitern darf man immer, aber dann richtig. |
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