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Beitrag |
    
Annette
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 15:51: | 
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Ich komme nicht weiter
Aufgabe:Löse die Aufgabe nach x auf:
(2x³+4ax²)*(7x^4-21bx³)=0 [x^4: heißt x hoch 4]
14x^7-42bx^6+28ax^6-84abx^5=0
x^5 (14x²-42bx+28ax-84ab)=0
x^5[14x²-x(42b+28)-84ab]=0
x1/2=(42b+28a)+-Wurzelz.(42b+28a)²-4*14*(-84ab)das ganze:2*14
=42b+28a+-Wurzelz.1764b²+2352ab+784a²+4704ab
das ganze:28
Jetzt finde ich nicht weiter
vielen Dank für die Hilfe!
Annette
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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 17:52: |
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Hi Annette!
Es gibt einen wichtigen Satz, der einem sehr oft das Leben erheblich vereinfacht:
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Wenn Du also eine Gleichung lösen musst, die schon in der Form A*B=0 ist, dann sollte man NICHT ausmultiplizieren, sondern gleich eine Fallunterscheidung machen.
Erster Fall: A=0 ;
Zweiter Fall: B=0
In Deinem Fall hast Du ja die Gleichung
(2x³+4ax²)*(7x4-21bx³)=0
Wir erkennen, dass wir in der linken Klammer ein x² ausklammern können und in der rechten Klammer ein x³:
x²(2x+4a)*x³(7x-21b)=0
Die x² und x³ fassen wir zu x5 zusammen:
x5(2x+4a)(7x-21b)=0
Und jetzt haben wir eine Gleichung, die auf der linken Seite ein Produkt hat und auf der rechten Seite 0 ist.
Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.
Erster Fall: der erste Faktor x5 ist Null:
x5=0 => x=0
Zweiter Fall: der zweite Faktor (2x+4a) ist Null:
2x+4a=0 => 2x=-4a => x=-2a
Dritter Fall: der dritte Faktor (7x-21b) ist Null:
7x+21b=0 => 7x=21b => x=3b
Wir haben also die drei Lösungen:
x1=0
x2=-2a
x3=-3b
Das wäre der wohl einfachste und übersichtlichste Rechenweg. Aber mit Deinem Weg (also Ausmultiplizieren, dann Ausklammern und dann abc- (bzw. pq-) Formel) muss man auch zum selben Ergebnis kommen.
Nur hast Du einen Fehler weiter oben gemacht, als Du aus der Zeile
x^5 (14x²-42bx+28ax-84ab)=0
auf
x^5[14x²-x(42b+28)-84ab]=0
geschlossen hast, weil es in der Klammer nicht 42b+28, sondern 42b-28a heißen muss, da Du ein Minus vor der Klammer hast und unterwegs ein a verloren ging.
Jetzt müsste es zu rechnen gehen:
x5[14x²-x(42b-28a)-84ab]=0
1.Fall: x5=0 => erste Lösung x1=0
2.Fall: [14x²-x(42b-28a)-84ab]=0
14x²-x(42b-28a)-84ab=0
Natürlich könnte man diese Gleichung sofort in die abc-Formel hineinschmeißen, aber es empfiehlt sich, zuerst durch alle gemeinsamen Faktoren zu teilen.
Da alle vorkommenden Zahlen gerade sind, sieht man sofort, dass man durch 2 teilen kann:
7x²-x(21b-14a)-42ab=0
Und jetzt erkennt man, dass man noch durch 7 teilen kann:
x²-x(3b-2a)-6ab=0
Jetzt abc-Formel mit a=1; b=-(3b-2a) und c=-6ab
x2 / 3=( 3b-2a +-Ö{ (3b-2a)²-4*1*(-6ab) })/(2*1)
=( 3b-2a +-Ö{ 9b²-12ab+4a²+24ab })/2
=( 3b-2a +-Ö{ 9b²+12ab+4a² })/2
=( 3b-2a +-Ö{ (3b+2a)²})/2
=( 3b-2a +-(3b+2a))/2
x2=( 3b-2a + (3b+2a))/2=(6b)/2 => x2=3b
x3=( 3b-2a - (3b+2a))/2= (-4a)/2 => x3=-2a.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Annette
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 21:54: |
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Hi,Cosine!
Vielen Dank für die tolle Erklärung.
Aber ich hätte noch eine Frage.Die Aufgabe
(x-4b)(x+2b)=(x+6b)(b-x) muss man auf Null bringen
(x-4b)(x+2b)-(x+6b)(b-x)=0 Wie kann ich hier ausklammern? Genauso bei der Aufgabe.
(x+5a)²=(x+a)²+(3aa+x)²
(x+5a)²-(x+a)²-(3a²+x)²=0
Danke,
Annette |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 23:12: |
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Hi Annette!
Hmm...
So auf den ersten Blick sehe ich bei
(x-4b)(x+2b)-(x+6b)(b-x)=0
keine einfache Möglichkeit etwas auszuklammern.
Also würde ich das Ding einfach ausmultiplizieren und dann mit der abc-Formel bearbeiten:
(x-4b)(x+2b)-(x+6b)(b-x)=0
x²-4bx+2bx-8b²-bx+x²-6b²+6bx=0
2x²+3bx-14b²=0
x1/2=(-3b+-Ö{9b²-4*2*(-14b²)})/2*2
x1/2=(-3b+-Ö{9b²+112b²})/4
x1/2=(-3b+-Ö{121b²})/4
x1/2=(-3b+-11b)/4
x1/2=(-3+-11)/4*b
x1=(-3 + 11)/4*b = 8/4*b=2b
x2=(-3 - 11)/4*b = -14/4*b=-(7/2)b
Jetzt wo wir wissen, dass 2b eine Lösung ist, wissen wir natürlich auch, dass sich die Funktion
(x-4b)(x+2b)-(x+6b)(b-x) in der Form
C*(x-2b)*(2x+7b)
schreiben lassen muss, wobei C eine Konstante ist.
Das heißt: Jetzt, wo wir die Lösung schon auf anderem Wege ermittelt haben, wissen wir, dass wir z.B. den Faktor (x-2b) hätten ausklammern können, aber das habe ich vorhin noch nicht auf Anhieb erkennen können....
Ebenso wüsste ich bei Deiner zweiten Aufgabe keine andere Lösung als Ausmultiplizieren, da ich keine gemeinsamen Faktoren zum Ausklammern sehe.
Es ist aber natürlich trotzdme sinnvoll, immer zuerst zu schauen, ob man welche findet, aber bei diesen beiden Beispielen sehe ich jetzt nichts auf Anhieb.
Ciao
Cosine |
Annette
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 12:37: |
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Danke Cosine, die erste Aufgabe habe ich auch herausbekommen.Tut mir aber leid,da ich bei der zweiten Aufgabe gar nicht weiterkomme.Könntest du mir helfen???
(x+5a)²=(x+a)²+(3a²+x)²
x²+10ax+25a²=x²+2ax+a²+9a^4+6a²x+x²
0=x²-8ax+6a²x-24a²+9a^4
0=x²-x(8a-6a²)-a²(24-9a²)
x=(8a-6a²)+_Wurzel(8a-6a²)²-4*1(-a²)(24-9a²):2
x=[(8a-6a²)+_Wurzel 64a²-96a³+36a^4 +96a²-36a^4]:2
x=[(8a-6a²)+_Wurzel 160a²-96a³]:2
x=[(8a-6a²)+_Wurzel 16a²(10-6a)]:2
Jetzt kann ich aber die Wurzel nicht ziehen.
Was habe ich nur falsch gemacht?????
Das ^4 heißt: hoch 4
Wäre lieb, wenn du mir helfen könntest,danke
Annette |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 19:36: |
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Hi Annette!
Also soweit ich das sehe, hast Du keinen Rechenfehler gemacht. Das heißt Deine Zeile
x=[(8a-6a²)+_Wurzel 16a²(10-6a)]:2
ist richtig.
Nur kann man das noch weiter vereinfachen, und zwar zu:
x1/2=[8a-6a²+_4aÖ{10-6a}]:2
Das heißt: Ich habe die 16a² aus der Wurzel herausgezogen und als Faktor 4a davor geschrieben. Jetzt enthält jeder Summand im Zähler den Faktor 2 und wir können kürzen zu:
x1/2=4a-3a²+_2aÖ{10-6a}
So kann man es jetzt eigentlich schon stehen lassen. Es sind noch einige (rein "kosmetische") Operationen möglich, wie z.B. unter der Wurzel Faktor 2 ausklammern oder im ganzen Ausdruck ein a ausklammern, aber das kann man auch so lassen.
Wichtig ist, dass diese Aufgabe nicht für jeden Wert von a zwei Lösungen hat.
Hier muss man eine Fallunterscheidung machen:
1. Fall: Es gibt genau 2 Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel (Diskriminante) größer ist als 0, d.h. 10-6a>0 => 6a<10 => a<5/3
2. Fall: Es gibt genau 1 Lösung, wenn die Diskriminante 10-6a gleich 0 ist, also bei a=5/3
3. Fall: Es gibt gar keine reele Lösung, wenn die Diskriminante negativ ist, da man von negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf. Das ist also der Fall bei a>5/3.
Noch eine Idee, die mir beim Rechnen gekommen ist: Bist Du sicher, dass die Aufgabenstellung korrekt ist? Und zwar -wenn es nicht
(x+5a)²-(x+a)²-(3a2+x)²=0
sondern
(x+5a)²-(x+a)²-(3a +x)²=0
geheißen hätte, d.h. nur 3a und nicht 3a², dann wäre die Aufgabe einfacher geworden, dann gäbe es immer mindestens zwei Lösungen, es wäre keine Fallunterscheidung notwendig geworden und der endgültigen Lösung wäre keine Wurzel mehr vorgekommen.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
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