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Beitrag |
    
Anita Bidlingmaier (Anitabid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 14:11: | 
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Kann mir hier vielleicht irgendjemand erklären was Vollständige Induktion ist. Habe den Einstieg verpasst weil ich eine Woche weg war und häng seit dem so ziemlich in der Luft.
Meine Fragen wären:
1) Was muss ich da überhaupt machen
2) Was soll als Ergebnis rauskommen
3) Wie geh ich vor
4) Woher weiß ich ob die Induktion richtig oder falsch ist
z.B bei der Aufgabe
2hoch0+2hoch1+2hoch2+........+2hochn= 2hoch(n+1) –1
was muss ich bei dieser Aufgabe beweisen???
Was ist das was links steht und was das Rechte???
Es wäre total nett wenn irgendjemand mir mal ein Überblick über das Ganze verschaffen könnte.
Danke im vorraus. |
revo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 15:55: |
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mit induktion kann man zum beispiel algemeine lösungen von summenfolgen beweisen.
2^0+2^1+2^2+...+2^n (n natürliche Zahl)ist so eine summenfolge. ich kann sie ausrechnen indem ich die einzelnen glieder bis 2^n adddiere oder man kann die allgemeine lösungsformel 2^(n+1)-1 nehmen.
wenn du eine gegebene ausage mit induktion beweisen sollst mußt du als erstes herausfinden ab welchem n diese wahr ist(meist angegeben oder 0 oder 1)
Bsp: n=0 : 2^0=1 2^(0+1)-1=2^1-1=2-1=1
--> für n=0 ist deine Formel also richtig
jetzt kommt der eigentliche Beweis:
die behauptung ist, das diese Formel, wenn sie für eine natürliche Zahl n erfüllt ist, auch für deren nachfolger n+1 erfüllt ist. (das heißt wenn die formel für n=0 richtig ist, ist sie für 1 richtig; und wenn sie für 1 richtig ist, ist sie für 2 richtig;...;und wenn sie für 100 richtig ist ist sie für 101 richtig;... --> auf diese weise beweist man die gültigkeit der aussage für ALLE natürlichen Zahlen)
Bsp: Behauptung: es gilt
2^0+2^1+...+2^k+2^(k+1)=2^((k+1)+1) - 1
für alle k = n
Voraussetzung: es gilt
2^0+2^1+...+2^k = 2^(k+1) - 1
für k >= 0 {größer gleich}
nun kommt der eigentliche beweis. hier wird die linke seite der behauptung genommen und versucht sie mittels der vorraussetzung in die rechte seite umzuformen. bei summenfolgen ist dies meist recht einfach indem du den teil der summe bis k durch die formel der voraussetztung ersetzt und nun nur noch den teil mit k+1 hinzuaddieren hast.
Bsp: Beweis:
2^0+2^1+...+2^k + 2^(k+1)
{| Voraussetzung | \/ |}
= 2^(k+1) - 1 + 2^(k+1) {dies noch umformen}
= 2*2^(k+1) -1 {potenzgesetz führt zu:
= 2^((k+1)+1) -1 {linke seite der behauptung}
wenn du noch mehr erklärungen brauchst schreib mir einfach |
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