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Beitrag |
    
Pierre
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 16:15: | 
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danke |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 17:48: |
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nein
Gegenbeispiel: f:[0;2]->IR
f(x):={ x+1 für 0<=x<=1
x-1 für 1<x<2 }
die Funktion ist nicht monoton steigend (siehe Punkt 1) aber offensichtlich injektiv, denn zwei verschiedene Elemente werden wieder auf zwei verschiedene abgebildet.
Wenn du eine "auf IR" stetige Funktion hast, dürfte es aber das gleiche sein. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 17:49: |
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ach, es muss f:[0,2[->IR heißen. |
revo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 14:58: |
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f(x) = x³ (f:R -->R) ist injektiv (sogar bijektiv)aber nach der mir bekannten Def. nicht streng monoton.
(Dev. streng monoton: f'(x)>0 (steigend) oder f'(x)<0 (fallend))
bei x³ ist f'(0)=0 --> f'(x)>=0 --> monoton steigend (nicht streng) |
Leo2
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 15:57: |
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Hallo revo,
Bist Du derjenige, der so viele falsche Antworten ins Board setzt?
Na wie auch immer.
Diese Antwort von Dir ist wieder mal ganz falsch! |
thalesx
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 16:41: |
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Stimmt Leo!
Die Definition der strengen Monotonie sagt doch nur aus das aus x<y folgt f(x)<f(y)!
oder?
Also ist auch x^3 streng monoton steigend!?!
thalesx |
revo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 19:35: |
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ich hab nur die mir bekannten dev. von strenger monotonie angesetzt und sie auch extra noch mit angegeben. bei dieser dev wird angesetzt, daß die steigung immer größer als 0 ist (streng monoton steigend) oder immer kleiner als 0 ist (streng monoton fallend). wenn die steigung mal 0 wird aber nicht das vorzeichen wechselt, so ist dies monotonie (aber keine strenge).
die dev. von thalesx kenne ich for monoton steigende FUNKTIONEN UND für STRENG monoton steigende FOLGEN.
bitte korregiert mich wenn hier was nicht stimmt |
Duli
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 07:52: |
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Hi revo,
x³ ist streng monoton steigend.
Du scheinst die dev. (sic) nicht zu verstehen. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 17:34: |
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Hallo Pierre
Hallo Carmichael
Es gilt folgendes:
Eine streng monotone Fuktion ist injektiv
Für eine stetige injektive Funktion können wir srenge Monotonie folgern, falls der Definitionsbereich ein Intervall ist, sonst könnte man das folgende Gegenbeispiel nehmen:
f:]0,1[ vereinigt ]2,3[->R
mit f(x)=x falls x<1,
und f(x)=5-x falls x>2
Diese Funktion ist stetig und injektiv, aber nicht monoton.
Falls der Definitionsbereich ein Intervall ist, kann man die strenge Monotonie mit dem Zwischenwertsatz beweisen. Wenn es Dich interessiert, sag bescheid.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 18:18: |
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Hallo
Um das mal aufzuklären: Für differenzierbare Funktionen über einem Intervall gilt:
f'>0 => f streng monoton steigend
f monoton steigend <=> f'>=0
Für fallende Monotonie entsprechend die Vorzeichen umdrehen.
Die Definition von Monotonie hat ist zunächst mal völlig unabhängig davon, ob eine Fuktion differenzierbar ist:
f heißt monoton steigend, wenn aus x<y folgt f(x)<=f(y),streng monoton steigend, falls aus x<y folgt f(x)<f(y)
monoton fallend: x<y => f(x)>=f(y)
streng monoton fallend: x<y => f(x)>f(y)
viele Grüße
SpockGeiger |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 11:54: |
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Danke, Spock.
Außerdem sollte man vielleicht noch die allgemein völlig mißverstandene Injektivität kurz erklären:
Injektiv ist eine Funktion f: x -> f(x), wenn gilt:
f(x) = f(y) => x = y
In Worten: Jeder Funktionswert wird an höchstens _einer_ Stelle angenommen.
Aus Strenger Monotonie folgt dementsprechend Injektivität (falls y <> x, ist auch f(x) <> f(y)), aber aus Injektivität folgt erst mal nichts über Monotonie. Da müssen erst noch Eigenschaften wie Stetigkeit und so dazukommen, damit man was folgern kann. |
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