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Telenews (Telenews)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 14:19: | 
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Hi! Ich habe folgendes Problem:
Aufgabe: Hat der Graph an dieser Stelle eine Tangente?
a) f(x)=|x| Stelle 0,2
b) f(x)=|x²-1| Stelle -1,-2
c) f(x)=|x²-4| Stelle 2,-2,-3
d) f(x)=|x³-1| Stelle 1,2,4
e) f(x)=|x³+1| Stelle -1,-2,-4
Gibt's da eine allgemeine Regel?
Danke schonmal! |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 04:58: |
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Hallo Telenews,
a)Ich habe noch nie eine Tangente an eine Halbgerade gelegt, aber nach Gefühl sage ich ja, eben mit unendlich vielen Berührungspunkten.
b)-1: nein; -2 ja (weil bei -1 Knick)
Es gilt einfach,daß Betragsfunktionen an Nullstellen keine Tangente haben, außer es handelt sich um einen doppelten Berührungspunkt an der x-Achse wie |x2|,|x3| usw. |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:59: |
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Ob eine Funktion eine Tangente hat, kann man ganz einfach entscheiden. Nämlich indem man schaut, was der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der Ableitung ist, und ob die das gleiche sind. Mal anschaulich:
Nehmen wir mal |x|. Mit anderen Worten,
f(x)= x für x=0, -x für x<0
Für x<0 ist die Ableitung -1. Für x>0 ist die Ableitung 1. Was ist die Ableitung in 0? Von links kommend -1, von rechts kommend 1. Tja, nix geworden, wir könnten gleich 2 Tangenten hinlegen. Also KEINE eindeutig bestimmte Tangente.
Bei |x|3 dagegen geht es, denn da ist zwar
f(x) = x3 für x>0 und -x3 für x<0, also
f'(x) = 3x2 für x>0 und -3x2 für x<0,
aber von links kommend ist f(x->0) = 0 und von rechts kommend auch. Also gibt es eine Tangente. |
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