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andy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 11:19: | 
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Hallo,
ich wollte folgende Grenzwerte finden, komme aber nicht voran. Wichtig für mich wäre der Lösungsweg, weniger das Ergebnis.
lim n(1-(5.Wurzel(1-1/n)))
lim n(Wurzel(1+1/n))-n |
revo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 12:04: |
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lim n(1-(5.Wurzel(1-1/n))) --> 0 weil:
1/n --> 0
1-1/n --> 1
5. wurzel -->1
1-1 = 0
n*0 = 0
lim n(wurzel(1+1/n))-n --> 0 weil:
1/n --> 0
1+1/n --> 1
wurzel --> 1
n * 1 = n
n - n = 0 |
andy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 11:15: |
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Genau diese Lösung ist aber meiner Meinung nach falsch. In beiden Aufgaben führt der Lösungsweg nämlich auf den unbestimmten Ausdruck n*0/n*n also unendlich * 0 bzw. unendlich -unendlich. Und dies ist eben nicht 0, sondern so nicht bestimmbar. Man muss also vorher die Folge so geschickt umformen, dass man auf einen bestimmten Ausdruck kommt. Aber genau dieses Geschick fehlt mir (noch). Der erste Limes ist dann auch 1/5, der zweite 1/2. Aber wie kommt man darauf? Ich wäre also über einen neuen Lösungsvorschlag sehr dankbar. |
reinhard vogel (Revo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 14:12: |
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du hast recht - ich hatte unrecht, das pasiert, wenn man nicht ganz mathematisch vorgeht - sorry
hier ein anderer lösungsansatz zunächst für:
lim n(wurzel(1+1/n))-n
um wurzeln näherungsweise zu berechnen gibt es das sogenante Heron'sche Iterationsverfahren:
x = W(y): x(i+1) = 1/2 * (x(i) + y/x(i))
i.. index von x
{man beginnt mit x1 einer beliebigen zahl nahe der vermutlichen wurzel, nach einer kurzen anzahl von durchläufen nähert sich xi der wurzel aus y an}
zurück zur aufgabe:
die wurzel ist für große n rund eins (wie ich beim erstenmal schon gezeigt habe)
nun ersetze ich die wurzel durch die obige Formel und setzte xi = 1 (y = 1+1/n):
lim n(1/2*(1 + (1+1/n) )) - n
= lim 1/2 n + 1/2 n + 1/2 n * 1/n -n
= lim 1/2 = 1/2
ich hoffe du siehst noch durch
für die erste Aufgabe funktioniert es Ähnlich, mit der Formel:
x(i+1) = 4/5 x(i) + y/(5*(x(i))^4) |
andy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 15:13: |
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oh, oh
Nein, leider sehe ich nicht mehr durch!
1. Warum sollte ich das Näherungsverfahren benutzen, wenn ich doch weiss, dass dieser Ausdruck eh gegen 1 geht? Und wieso nur eine Iteration und dafür dann x=1?
2. Außerdem komme ich, wenn ich den Ausdruck für die Wurzel eingesetzt habe, nicht auf 1/2, sondern auf oo + 1/2 - oo, was meiner Meinung nach wieder unbestimmt ist:
lim n(1/2*(1 + (1 + 1/n))) - n
= lim n (1/2(2 + 1/n)) - n
= lim n (1 + 1/(2n))) - n
= lim n + n/(2n) - n
= lim n + 1/2 - n
Daher denke ich , dass es einen anderen Weg, der eben aus vorheriger geschickter Umformung besteht.
Tut mir leid, dass ich so nerve! |
revo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 16:06: |
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die wurzel ist halt nur annähernd eins, deshalb mußt du sie irgendwie berechnen(sonst grenzwert 0)
da 1 für große n schon eine sehr gute näherung auf viele dezimalstellen genau bringt wird sie bei der iteration eingesetzt und bringt mir dann die Wurzel.
lim n + 1/2 -n = lim 1/2 und der Grenzwert von 1/2 für n-->unendlich ist bestimmt 1/2.
PS: wenn du trotzdem einen anderen weg findest schreib ihn mir |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 18:15: |
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Hallo andy,
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andy
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 11:32: |
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Hallo Fern,
das nenne ich eine überzeugende 1/2! Ich habe gestern auch noch einmal ganz tief in mein Mathebuch geschaut und gefunden:
wenn lim a_n - b_n = oo -- oo, dann unbest. Ausdruck, deshalb erweitern mit a_n + a_n. Auf diese Weise bin ich dann auch auf 1/2 gekommen. Dies hast Du ja offensichtlich auch gemacht. Allerdings hatte ich vorher nicht das n in die Wurzel genommen (wie Du im ersten Schritt). Logisch ist mir dies klar, aber welches Gesetz liegt dem zugrunde? Oder anders gefragt: Wenn es eine 5. Wurzel ist, dann ist doch
n(5.wurzel(1+1)) ?= 5.wurzel(n^5 + n^5)
Peinlich, dass ich immer über solche Sachen stolper! Wo gibt es denn eine solche gesammelte Trichkkiste?
Den ersten Grenzwert habe ich übrigens trotzdem noch nicht lösen können. Wenn Du also Da auch nochmal schauen könnstest...
Danke andy
PS
Wie kann ich auch so ein schönes Gif erstellen? Es liest sich doch viel besser! |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 22:14: |
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Hallo andy,
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andy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 11:24: |
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Hallo Fern,
vielen Dank für Deine Mühe! Auch für mich war in diesem Fall de l'Hopital verboten. Darf man ihn für Folgen überhaupt verwenden? Ich dachte immer, das geht nur Funktionen, also werd ich gleich mal nachschauen.
Gruss andy |
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