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Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 22:21: | 
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Hallo,
hier stehe ich etwas auf dem Schlauch:
Eine Extremstelle ist es, wenn man die erste Ableitung gleich Null setzt, und die Lösungen ermittelt. Diese Lösungen, eingesetzt in die zweite Ableitung, müssen grösser oder kleiner 0 sein, dann sind es Extremwerte. Ergibt die Lösung, in die 2. Ableitung eingesetzt, jedoch 0, so ist es keine Extremstelle
---> was ist es denn dann???
Ein Wendepunkt ist es, wenn man die zweite Ableitung gleich Null setzt, und die Lösung, in die 3. Ableitung eingesetzt, grösser oder kleiner Null ist.
---> was ist, wenn aber Null herauskommt???
Bei einer Parabel ist der Scheitelpunkt doch ein Extremum. Ist er aber nicht auch gleichzeitig ein Wendepunkt??
Wie kann man eigentlich Wendepunkt und Extremstellen sicher auseinanderhalten? Durch die grundsätzlich unterschiedlichen Ansätze mit erster resp. zweiter Ableitung?
Und wie kann man eindeutig feststellen, wenn bzw dass eine Funktion keine Extremstellen hat (abgesehen von der Vorzeichenregel).
Würde mich freuen, wenn mir jemand da die Tomaten von den Augennehmen würde!
Muchos dankos,
Thomas |
Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 23:48: |
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Nochmal hallo,
also eines ist mir inzwischen -zumindest vermeintlich - klar geworden: eine Parabel (hier: Fn zweiten Grades) kann ja keinen Wendepunkt in dem Sinne haben, weil sich in einem Wendepunkt die Krümmung ändert, im Scheitelpunkt jedoch ändert sich die Monotonie.
Somit wäre ein Wendepunkt erst ab dem Graph einer kubischen Funktion möglich, weil dort der s-förmige Verlauf gegeben ist.
Ich hoffe, da liege ich jetzt nicht so ganz daneben...
Tom |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 23:54: |
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Du mußt zwischen notwendiger(muß sein) und hinreichender Bedingung unterschieden.
Es ist hinreichend für ein Extrem,wenn die 1.Ableitung 0 ist und die zweite ungleich 0.Aber es ist nicht notwendig ! Schau Dir einfach mal die Funktion f(x)=x6 an. Sie hat bei x=0 ein lokales Minimum,obwohl hier die ersten fünf Ableitungen alle den Wert 0 annehmen.Du kannst das Spiel sogar noch weiter treiben,wenn Du x10 oder x500 betrachtest.Alle haben ziemlich viele Ableitungen mit dem Wert 0,aber ein lokales Minimum bei x=0.
Man kann das Kriterium aber erweitern : Wenn die n.Ableitung einen Wert ungleich 0 annimmt und alle vorherigen den Wert 0,dann liegt ein Extremwert vor,sofern n gerade ist. Es liegt ein Sattelpunkt vor,falls n ungerade ist.
Und damit sind wir beim zweiten Teil Deiner Frage : Wenn es kein Extrem ist,handelt es sich um einen Sattelpunkt,d.h. die Funktion steigt oder fällt in einer gewissen Umgebung um die Sattelstelle herum,hat aber im Sattelpunkt selbst die Steigung 0.Einfachstes Beispiel ist die Funktion f(x)=x3 bei x=0.
Bei Wendepunkten ist es genau umgekehrt : Entweder es ist ein Wendepunkt oder ein Extrempunkt,je nachdem welche Ableitung (gerade oder ungerade) zuerst ungleich Null wird.
Bei den Begriffen Wende- und Extrempunkt hast Du eine leicht falsche Vorstellung : Ein Extrempunkt ist der tiefste oder höchste Punkt in einer gewissen Umgebung,ein Wendepunkt bedeutet eine Änderung der Krümmungsrichtung.Auf Dein Parabelbeispiel bezogen : Die Funktion befindet sich in einer ständigen Links-Krümmung.Stell Dir einfach vor die Kurve wäre eine Straße auf der Du entlang fährst von -¥ kommend.Du würdest das Steuer immer leicht nach links einschlagen müssen,nie nach rechts.Ein Wendepunkt wäre beispielsweise das Ende einer Linkskurve,die in eine Rechtskurve übergeht(oder umgekehrt).
Ein Kriterium zur Extremstellenbestimmung ohne Verwendung der 1.Ableitung dürfte schwierig werden,es sei denn Du kannst Dich auf einfachere Funktionen berufen. So ist beispielsweise die Verkettung monotoner Funktionen wieder monoton und besitzt somit keine Extremwerte.Beispiel : f(x)=exp[(x2+1)5] |
Thomas Rossbach
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 1999 - 20:08: |
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Hallo Ingo,
vielen Dank für de ausführliche Erklärung! Wegen der Parabel 2.Grades hatte ich gestern noch eine Korrektur hier einstellen wollen, aber den Browser zu früh dichtgemacht (vergessen, abschicken zu drücken).
Wegen dem Sattelpunkt: ich arbeite hier mit einem Buch, das einer meiner Lehrer mitgeschrieben hat. Nach Rücksprache mit ihm heute stellte sich heraus, dass noch einige Druckfehler enthalten waren, so dass mir Einiges fehlte, was ich mit Hilfe Deiner Erklärung rekonstruiert, und soweit auch verstanden habe. Ich werde es jetzt mal mit Funktionsdiskussionen versuchen.
Also bis demnächst ;-)
Tom |
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