| Autor |
Beitrag |
    
Pamela
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 16:50: | 
|
Ich soll bis Do. ein Referat über Ableítung der Kosinusfunktion halten, d.h. auch die Herleitung.
DIe ist zwar in meinem Buch, aber ich verstehe sie nicht ganz. FOlgendes Problem:
(cos x)'= -sin x
HErleitung mit cos x= sin ( pi:2 - x)
das soll irgendwo in meinem Tafelwerk stehen, aber ich versteh nicht, wo das herkommt und warum das benutzt wird? dann weiter:
statt f(x)= cosx --> f(x)=sin(pi:2 - x)
v(z)=sinz z=u(x)=pi:2-x
v'(z)=cosz u'(x)= -1
f'(x)= cosz*(-1)= -cos(pi:2-x)=-sinx
könnt ihr mir helfen?
DAnke. |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:42: |
|
cos(x)=sin(pi/2 -x) ist ein Zusammenhang
der von der Trigonometrie her bekannt sein muesste
die Cosinusfunktion erhält man, wenn man die Sinusfunktion um pi/2 nach links verschiebt
bei der Herleitung wird davon ausgegangen,
dass die Ableitung von sin(x) bekannt ist:
f(x)=sin(x) ==> f'(x)=cos(x)
dann leitet man mit der Kettenregel ab,
wobei z=u(x) die innere Funktion ist und
sin die äussere
deshalb cos'(z)=sin(z)*z'
wenn man die Kettenregel direkt anwendet, dann
ist keine Substitution notwendig
sin'(pi/2 -x) = cos(pi/2 -x) * (-1)
mit dem Zusammenhang cos(pi/2 -x)=sin(x)
und sin(pi/2 -x)=cos(x) erhält man:
cos'(x) = -sin(x) |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:52: |
|
Hi Pamela,
Also wir haben den Kosinus in der Schule folgendermaßen hergeleitet:
Ableitungsdefinition:
y'=f'(x)=f(x+h)-f(x)/h lim(h->0)
Also folgt für f(x)=cos(x)
f'(x)=cos(x+h)-cos8x)/h
im Zähler findet sich das Cos-Additionstheorem ein...
cos(x+h)=cos(x)*cos(h)-sin(x)*sin(h)
Wenn wir h->0 streben lassen wird cos(h)=1 Also vereinfacht sich der gesammte Bruch, weil aus dem Additionstheorem
cos(x)-sin(x)*sin(h)
wird.
im Bruch eingesetzt ergibt folgendes:
cos(x)-sin(x)*sin(h)-cos(x)/h=-sin(x)*sin(h)/h
Und nun müssen wir uns um den Grenzwert von sin(h)/h für h->0 kümmern.
zu diesem zwecke schaue dir vollgende Grafik an:
Wenn du nun stat "x"-wie in der Grafik verwndet wird-"h" verwndest, dann kannst du leicht einsehen, das für kleine h->0 gilt:
sin(h)<h<tan(h).......Tangensdefinition anwenden
sin(h)<h<sin(h)/cos(h)..|:sin(h)
1<h/sin(h)<1/cos(h)
Der Bruch 1/cos(h) wird für h->0 Eins, weil cos(h) für h->0 gegen 1 strebt.
1<h/sin(h)<1
Daraus folgt, das h/sin(h) 1 ist!! (->Einschließkriterium)
und der Kehrwert davon sin(h)/h ist ebenfals 1 !!!
Also follg aus f'(x)=-sin(x)*sin(h)/h für h->0
f'(x)=-sin(x)
=============================================== |
piep
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:57: |
|
Erinnerst Du Dich an die cos- Kurve???
SChau mal in Deinen Aufschrieben nach für was die 1 bei der cos-Kurve und für was die 1 bei der sin- Kurve steht, vielleicht wird es Dir dann etwas klarer!!! |
Pamela
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 21:49: |
|
Klasse, danke! Ich habs verstanden. |
|
Datei
