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Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 1999 - 17:08: | 
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wir behandeln zur Zeit die vollständige Induktion in unseren Mathe-Vorlesungen (mehr oder WENIGER ausführlich. Nur irgendwie habe ich nicht so ganz gecheckt, wie der Beweis der "Bernoullischen Ungleichung" funktionierte.
Über Hilfe wäre ich durchaus dankbar. |
Flo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 1999 - 19:24: |
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Die Bernoullische Ungleichung lautet:
(1+x)^n > 1+nx ; x>(-1), x 0 , n > 2
Der Induktionsanfang ist schnell getan:
a(2) = (1+x)^2 = 1+ 2x+ x^2
Da x^2 > 0 , ist (1+x)^2 > 1+2x
-> Induktionsanfang stimmt.
Induktionsschluss:
(1+x)^n > 1+nx wird als richtig angenommen. Jetzt mus nur noch bewiesen werden, dass man von a(n) auf a(n+1) schließen kann:
(1+x)^n > 1+nx |*(1+x)
(1+x)^(n+1) > (1+nx)(1+x) (=1+x+nx+nx^2)
(1+x)^n+1 > 1+ x(n+1)[+nx^2 0; man verkleinert den Term, die Aussage
ist jedoch noch korrekt, da de Term sowieso kleiner war]
--> (1+x)^(n+1) > 1 + x(n+1)
q. e. d.
Ich hoffe du hast es nun verstanden.
CU
Flo |
Jörn
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 10:58: |
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Hallo.
Ich habe etliche Seiten zum Thema vollständige Induktion gelesen und das Grundmuster ja auch verstanden. Ich habe jedoch Schwierigkeiten damit zu verstehen wie man für folgende Aufgabenstellung zu einem Induktionsanfang kommt:
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, daß für einen Zeichenvorrat [Summenzeichen] = {a1, ... , am} von m Buchstaben die Anzahl der Zeichenketten mit genau n Buchstaben m^n ist.
Die rechte Seite ist ja klar (m^n) aber was muß ich links hinschreiben ?
Wie funktioniert die vollständige Induktion überhaupt bei Funktionen, bei der nicht alles so "glatt" geht und ich eventuell mehrere Unbekannte habe wie:
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, daß für alle reelen Zahlen x und alle natürlichen Zahlen m und n gilt : x^m * x^n = x^(m+n).
Da ich wirklich schon etliche Seiten zu dem Thema gelesen habe und ich irgendwo (wenn ich nur wüßte, wo genau ;) ) wohl Verständnisschwierigkeiten habe, wäre es nett, die Induktionsschritte einzeln vorzuführen.
Vielen Dank im Voraus für die Mühe. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 1999 - 00:07: |
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Ich würde x und m als beliebig,aber fest ansehen und die Induktion nach n durchführen :
n=1 : xmx=xm+1
Für n sei es bewiesen,dann gilt auch :
xmxn+1=xm(xnx)=(xmxn)x=xm+nx=xm+n+1
Deinen ersten Beweis würde ich mehr auf der Erklärungs-Ebene führen.(Wenn ich die Formel für n Zeichen bewiesen habe,wieviele Möglichkeiten kommen dann durch das n+1.Zeichen hinzu ?) |
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