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Conny
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 13:49: | 
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Ein Spiegelrest hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheden 50, bzw.80 cm lang sind. Durch zwei Schnitte mit dem Glasschneider soll ein rechtwinkliger Spiegel entstehen. Wie lang sind die Schnittkanten zu wählen, damit die Spiegelfläche maximal wird? |
Alois
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 16:25: |
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Hallo Conny, ich glaube ich habe die Lösung für Deine Aufgabe gefunden.
Du mußt zunächst eine Funktion für das Dreieck in Abhängigkeit von x finden. Diese Funktion lautet f(x)=-80/50*x+80.
Danach beschreibst Du die Fläche in abhängigkeit von x.
Da A = x * y ist kannst Du schreiben
A(x) = x * f(x) = x * (-80/50*x+80)
ausmultipliziert:
A(x) = -80/50*x^2 + 80 x
für diese Funktion bestimmst du die Tangentenfunktion, also ist ableiten angesagt.
A´(x) = -160/50*x + 80
Ist die Steigung der Tangente Null, haben wir ein Maximum (das kann man daran erkennen, daß x² negativ ist).
A´(x) = 0 => A´= 25 das ist der gesuchte Wert für x, der duzugehörige y-Wert ist 40
Damit ist die maximale Fläche 1000 cm²
alles verstanden?
Gruß Alois |
schussel (Annett_N)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 08:20: |
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Hallo wie kommst du auf die obengenannte Gleichung? Bitte ausführlich erklären, habe nämlich keinen blassen Schimmer
(Du mußt zunächst eine Funktion für das Dreieck in Abhängigkeit von x finden. Diese Funktion lautet f(x)=-80/50*x+80. )
Danke im Vorraus
Brauche die Lösung bis spätestens 17.00 Uhr |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 12:15: |
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Hi Annett
Zeichne dir das Dreieck (lila) mal in ein Koordinatensystem:
| A | | | | | 50 | | C | | * | * | * | * | * | | | | | * | | | * | | | | | | * | | * | 80 | | | | | | * | * | | | - | | | - | - | - | * | B--> x |
Die Gleichung, die du nicht verstanden hast, ist die Geradengleichung der Gerade von A(0/80) nach B(50/0):
Der y-Achsenabschnitt ist t = 80,
die Steigungm ist die Differenz der y-Koordinaten von A und B (also 0 - 80) durch die Differenz der x-Koordinaten von A und B (also 50 - 0):
m = (0 - 80)/(50-0)= - 80/50
Also ergibt sich
y = -80/50 x + 80
oder:
y = -8/5 x + 80
Jetzt kommt das Rechteck in unsere Zeichnung:
| A | | | | D | | | C | | * | * | * | * | * | | | | | * | * | | * | | | | | E | * | * | * | F | | | | | | * | * | | | - | | | - | - | - | * | B--> x |
Dieses hat die Eckpunkte D,E,F,C.
Jetzt musst du dich fragen:
Was soll extremal (hier maximal) werden?
Antwort:
Die Fläche A des Rechtecks soll maximal werden.
Also musst du diese jetzt bestimmen.
Rechtecksflächen errechnen sich stets aus Länge mal Breite.
Länge ist hier der Abstand von E und F
Breite ist hier der Abstand von C und F
Dazu müssen wir aber die Koordinaten dieser Punkte kennen.
Von Punkt C kennen wir die Koordinaten ja schon:
x = 50; y = 80 (vgl. Skizze)
C(50 / 80)
Da der Punkt E auf der Geraden wandern kann, ändert sich die Lage aller Punkte, je nachdem, wo E ist.
Also bekommt E als x-Koordinate die Variable x.
Die y-Koordinate ist aber abhängig von diesem x, da E ja auf der Gerade liegen muss, also ist y durch die Geradengleichung festgelegt, nämlich
y = -8/5*x + 80 (Dies nennt man auch die Nebenbedingung.)
E(x / -8/5*x + 80)
Der Punkt F liegt lotrecht unterhalb von C und neben E. Also hat er dieselbe x Koordinate wie C, nämlich x = 50 und dieselbe y-Koordinate wie E, nämlich y = -8/5*x + 80.
F(50 / -8/5*x + 80)
Die Länge l des Rechtecks ist ja der Abstand von
E und F, also die Differenz der x-Koordinaten von E und F.
l = 50 - x
Die Breite b des Rechtecks ist ja der Abstand von
C und F, also die Differenz der y-Koordinaten von C und F.
b = 80 - (-8/5*x + 80)= 8/5 * x
Für die Fläche bekommst du:
A = l*b
A(x) = (50 - x)* (8/5 * x)
A(x) = 50*8/5 * x - 8/5 * x²
A(x) = 80x - 8/5 * x²
Das x in Klammern soll heißen, dass A von x abhängt, also eine Funktion von x ist.
Tja, und dieses A soll maximal werden. Wie bekommt man das Maximum einer solchen Funktion heraus?
Man leitet sie erst ab:
A'(x) = 80 - 2*8/5 * x
und
A''(x) = - 2*8/5
und setzt die 1. Ableitung dann Null:
0 = 80 - 2*8/5 * x
80 = 2*8/5 * x |*5
400 = 2*8 x
25 = x
Dann setzt man x in die 2. Ableitung ein und schaut, ob diese negativ oder positiv ist.
Hier ist
A''(25) = - 2*8/5 < 0
Das bedeutet es liegt tatsächlich ein Maximum vor.
Also hat der Punkt E die x-Koordinate 25, damit der Flächeninhalt maximal wird.
Seine y-Koordinate ist y = -8/5*25 + 80 = 40.
Also ist die Breite b = 50 - 25 = 25
und die Länge l = 80 - 40 = 40
l und b sind die gesuchten Schnittkanten.
Viele Grüße
Dein Holger |
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