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Beitrag |
    
René Steinbrück (Steino)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 00:00: | 
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Kann mir bitte,bitte, jemand helfen.
Wie funktioniert die Vollständige Induktion beim Beweisen bestimmter Ableitungsregeln.
Wenns nur konkret geht:
Wie kann ich beweisen, dass für die Ableitungen der Funktion ft(x)=(1+t*x)*e^(-x/t) folgende Regel gilt:
fnt(x)=(-1)^(n-1)*e^(-x/t)*[n/(t^(n-2) - 1/t^n + x/t^(n-1) ] |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 10:12: |
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Erst einmal konkret:
IA: n=1
Erwartung:
f‘ = (-1)0 * e-x/t * [1/t-1 – 1/t1 – x/t0]
= e-x/t * [t – 1/t – x]
Berechnung: f ableiten
f‘ = t*e-x/t + (1+t*x)*(-1/t)*e-x/t
= t*e-x/t + (-1/t – x)* e-x/t
= (t – 1/t – x)* e-x/t
IV: f(n) = (-1)n-1 * e-x/t [n/tn-2 – 1/tn – x/tn-1]
IS: n => n+1
Erwartung:
f(n+1) = (-1)n * e-x/t [(n+1)/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn]
Berechnung: f(n) ableiten
f(n+1) = (-1)n * (-1/t * e-x/t * [n/tn-2 – 1/tn – x/tn-1] + e-x/t * [-1/tn-1])
= (-1)n * (- e-x/t * [n/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn] - e-x/t * 1/tn-1)
= (-1)n+1 * e-x/t * [(n+1)/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn]
Allgemeiner:
Wenn du per vollständiger Induktion so etwas wie im Beispiel zeigen sollst, dann mußt du wie folgt vorgehen:
1. Induktionsanfang: Die Formel gilt für ein konkretes n
-Setze für ein n eine Zahl in die Formel ein (meistens n=1)
-Berechne die Ableitung von f (hier also die erste)
Sind die Ergebnisse gleich, so hast du für dieses n die Formel bewiesen
2. Induktionsschritt: Die Formel gilt für den Nachfolger n+1
-Setze n+1 in die Formel ein
-Berechne die Ableitung von f(n)
Sind die Ergebnisse gleich, so gilt die Formel für jeden Nachfolger, also für alle n |
René Steinbrück (Steino)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 15:45: |
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Hey klasse danke,du hast mir wirklich ein ganzes Stück weitergeholfen.
Leider verstehe ich etwas in der Rechnung noch nicht ganz. Zunächst kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie du von der vorletzten Zeile auf die letzte gekommen bist. Müßte außerdem in der letzten Zeile am Anfang statt (-1)^(n+1) nicht eigentlich (-1)^n sthehen, damit die Behauptung bewiesen ist.
Würde mich freuen, wenn du mich wieder so schnell aufklären kannst. |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:12: |
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IV: f(n) = (-1)^n-1 * e^-x/t [n/t^n-2 – 1/t^n – x/t^n-1]
uups, Fehler in der Berechnung: f(n) ableiten
f(n+1) = (-1)n-1 * (-1/t * e-x/t * [n/tn-2 – 1/tn – x/tn-1] + e-x/t * [-1/tn-1])
= (-1)n-1 * (- e-x/t * [n/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn] – e-x/t * 1/tn-1)
= (-1)n-1 * (- e-x/t * [n/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn + 1/tn-1 ])
= (-1)n-1 * (-1) * e-x/t * [(n+1)/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn]
= (-1)n * e-x/t * [(n+1)/tn-1 – 1/tn+1 – x/tn]
so sieht's doch besser aus... :-) |
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