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Beitrag |
    
Dennis
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 1999 - 15:22: | 
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Hallo,
ich habe Probleme, die Differentialgleichung
dy/dx + 5y = e^8x
gegeben daß y = 3/2 wenn x = 0
Würde mich über Tips sehr freuen.
mfg
Dennis
e-mail: dmwebdesign@gmx.net |
Ilhan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 1999 - 22:06: |
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Hallo Dennis,
Die DGL läßt sich folgendermaßen lösen:
dy/dx = y'(x)
=> y'(x) + 5y(x) = e^(8x)
Die Lösung der DGL ergibt sich aus
1. homogene Lösung
2. partikuläre Lösung
1.Lösen der homogenen DGL :
-------------------------------
y'(x) + 5y(x) = 0
y'(x) = -5y(x)
y'(x)/y(x) = -5 | auf beden Seiten integrieren
Integral[y'(x)/y(x)* dx] = Integral[ -5*dx]
=> Ln[y(x)] = - 5x + C1 | c1= Integrationskonstanten (von beiden Seiten zusammengefasst)
=> y(x) = e^[-5x+c1]
=> y(x) = e^[-5x]*e^[c1] | Vereinfachung : e^[c1] = C
=> y(x) = C*e^[-5x]
2.Finden der partikulären Lösung durch "Variation der Konstanten"
------------------------------------------------------------------
Es ergab sich für die homogene Lösung:
y(x) = C*e^[-5x]
=> y(x) = C(x)*e^[-5x]
=> y'(x) = c'(x)*e^[-5x]-c[x]*e^[-5x] | mit Produktregel
Einsetzen in die ursprüngliche DGL ergibt :
y'(x) + 5y(x) = e^(8x)
c'(x)*e^[-5x] - c[x]*e^[-5x] + 5*C*e^[-5x] = e^(8x)
vereinfachen, sortieren,....
=> c'(x) = e^(13x) |auf beiden Seiten integrieren und Integrationskonstanten zusammenfassen
=> c(x) = 1/13 * e^(13x) + c2
3.Berechnung der allgemeinen Lösung
------------------------------------
y(x) = C * e^[-5x]
y(x) = [1/13 * e^(13x) + c2] * e^(-5x)
ausrechnen, vereinfachen,....
=> y(x) = 1/13 * e^(8x) + c2*e^(-5x)
durch einsetzen des Anfangswertes y(0) = 3/2 kann man c2 berechnen
3/2 = 1/13 * e^(8*0) + c2*e^(-5*0)
3/2 = 1/13 *1 + c2*1
=> c2 = 37/26
damit ergibt sich als Lösung für die DGL :
y(x) = 1/13 * e^(8x) + 37/26*e^(-5x)
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Das war´s |
Arthur R.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 21:41: |
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Ich habe ein Problem und wäre unendlich dankbar,wenn mir einer helfen könnte. Es geht dabei nicht um ein Lösen einer Aufgabe. Ich habe das Problem, dass ich eine Matheaufgabe für meine Facharbeit bearbeite und mir dabei einzelne Terme zu lang geworden sind ( obwohl ich schon ausgeklammer...habe ). Ich habe gehört, dass es Mathe Programme gibt, die einem dabei helfen könnten etwas zu vereinfachen. Ich würde mich SEHR freuen, wenn mir einer bei der Suche helfen könnte oder noch besser mir den Name eines solchen Programmes geben könnte.
Ich bitte jeden der dazu etwas weiss, mir eine eMail zu schreiben.
Vielen Dank!
Arthur |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2000 - 22:32: |
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hi arthur, schreib doch mal so einen Term hier hin - vielleicht auch die Ausgangsgleichung(en).
Bodo
P.S: Hoffe Dir hat jemand einen Programmtipp geben können. Wenn Du eins gefunden hast, schreib's mal hier hin, würde mich auch interessieren, ob die Programme nicht nur für Terme gut sind, die man sowieso auch mit der Hand bearbeiten kann?? |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2000 - 22:36: |
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sehe gerade, daß Dir schon jemand an anderer Stelle was rausgesucht hat:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/2580.html |
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