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Stefanie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 1999 - 13:52: | 
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Ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und muß diese Aufgaben können. Aber das krieg ich leider absolut nicht hin.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Aufgabe:
Beim Zerfall von Radium hat sich nach 1580 Jahren Halbwertszeit) die Anfangsmenge auf die Hälfte vermindert.
Wie groß wird die augenblickliche Radiummenge in etwa 11000 Jahren sein?
Geben sie eine rekursive und eine explizite Darstellung der Folge an. |
Clemens
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 1999 - 16:48: |
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Hallo, Stefanie!
Sagen wir R0 ist die Anfangsmenge des Radiums und R(t) sei die Menge zur Zeit t, wobei R(0)=R0.
Dann kann man so einen Zerfallsprozeß durch
R(t) = R0*elt angeben.
das lamda müssen wir uns aber noch ausrechnen, was mit Hilfe der Halbwärtszeit, ich nenne sie mal t geschieht.
Es gilt:
R(t+t) = R(t)/2
R0*el(t+t) = R0*elt / 2
R0 fliegt raus und wir ziehen den logarithmus naturalis, da brauchen wir auch das Gesetz ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
l(t + t) = ln0.5 + lt
t fällt auch weg und es bleibt übrig
l = ln0.5 / t
bei mir kommt bei deinem Beispiel raus l = -0.0004387007472, aber alle stellen brauchst du sicher nicht nehmen.
nun kommts drauf an wie die 11000 jahre gemeint sind, ab dem Zeitpunkt 0, oder ab dem Zeitpunkt t, wenn du verstehst. egal wie, mußt du einfach den richtigen Zeitpunkt in die Funktion R einsetzen.
Ich erhalte R(11000) = R0*0.00802
also bleibt relativ wenig von der ursprünglichen Menge übrig, in anbetracht der langen zeit aber doch viel, findest du nicht?
So, jetzt noch die Rekursion:
Ich weiß leider nicht genau, wie das euer Buch/Lehrer haben möchte; aber sagen wir mal, wir schauen nur alle 10 jahre nach, was los ist, dann brauchen wir eine Formel für
R(t+10) in der nur R(t) vorkommen soll.
R(t+10) = R0*el(t+10) = R0 * e(lt + 10l) = R0 * elt * e10l = R(t) * e10l
das e10l kann man sich ausrechnen, den Wert nennen wir vielleicht r10 oder sonst wie und erhalten so eine Rekursion
R(0) = R0
R(t+10) = R(t) * r10
Hoffe das hilft dir und ist einigermaßen verständlich. Ich wünsche dir trotz der Matheklausur ein schönes Wochenende und schon sonst alles Gute :-)
/Clemens |
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