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Niclas Doll (N02)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:14: | 
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Bei meiner Facharbeit bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Ein Lolli wird gelutscht und in regelmäßigen Abständen (30 sec.) auf Volumenverluste hin untersucht, die sich über den Umfang berechnen lassen.
U = 2 * PI * r //U=Umfang
V = 4/3 * PI * r^3 //V=Volumen; r = Radius
Ich suche nach einer Formel für die Volumenabnahme, die auch die kleiner werdende Angriffsfläche des Lollis, und die damit verbundene geringere Volumenabnahme berücksichtigt.
O = 4 * PI * r^2 //O=Oberfläche
V'= 4 * PI * r^2 * dr/dt
Was einem dabei entgegenkommt ist, dass (wie s.o.) die Ableitung der Volumenformel nach der Zeit ähnlich der Oberflächenformel ist.
Ist folgende Schlussfolgerung für meine Formel nun richtig und warum?
dV°°°°°°°n°°°/°r(n-1)-r(n)°\°°°°/
-- = O * E°°|°°-----------°°|°°/°°n
dt°°°°°°i=1°°\°°°°°30°°°°°°/°°/
"E" steht für das Summenzeichen
"O" steht für Oberfläche
"n" steht für die Anzahl der Messungen an der Kugel
"r" steht für Radius
"°" sinde einfach nur füllzeichen, damit die Formel einigermaßen lesbar bleibt.
Ich würde mich freuen, wenn sich alle, die sich die Lösung des Problems zutrauen, melden würden. Ich kann genauere Informationen auch noch per E-Mail verschicken. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 18:04: |
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Hi Nicolas Doll!
Dein Problem klingt sehr interessant, nur leider verstehe ich es nicht ganz.
Der Lolli hat ein Volumen V=4/3*pi*r³
und eine Oberfläche O = 4pi*r²
Wenn man nun mal annimt, dass die Volumenabnahme proportional zur Oberfläche ist, dann hieße das bei viel Oberfläche wird das Volumen schnell weniger und bei wenig Oberfläche wird das Volumen langsam weniger.
Also hätten wir
dV/dt = -k*O
wobei dV/dt die Ableitung des Volumens nach der Zeit ist, O die Oberfläche und k eine Konstante.
dV/dt ist ja wie Du bereits ausrechnet hast,
dV/dt=4pi*r²*dr/dt
Also haben wir
4pi*r²*dr/dt = -k*4pi*r²
Die 4pi*r² heben sich raus und wir erhalten:
dr/dt = -k
Also ist die Ableitung des Radius nach der Zeit konstant. Demnach muss der Radius gleich
r = -k*t+C
sein, wobei C konstant ist.
Ab Anfang (bei t=0) ist der Radius gleich einem Anfangsradius R0. Dieser übernimmt hier die Rolle des C.
Also erhalte ich als Radiusfunktion:
r = R0 -k*t
k ist hierbei sozusagen die Lutschgeschwindigkeit.
Die Volumenfunktion ist dann dementsprechend:
V = 4/3*pi*r³
=4/3*pi*(R0-k*t)³
So viel habe ich von dem Problem verstanden. Ich hoffe, dass das, was ich hier ausgerechnet habe, irgendetwas mit dem von Dir gemeinten Problem zu tun hat. Du kannst ja mal sagen, was Du davon hälst.
Deine Formel ist übrigens ziemlich durcheinander geraten.
Hast Du sie so gemeint?
dV n / r(n-1)-r(n) \ /
-- = O * E | ----------- | / n
dt i=1 \ 30 / /
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Tobias
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 18:39: |
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Hi Cosine, hi Niclas!
Enschuldigt bitte, dass ich trotz des wirklich sehr interessanten Problems eine Frage stelle, die nichts damit zu tun hat, aber vielleicht auch Niclas interessiert. Wie bekommst Du die Formatierung der Summenformel hin? Bei mir werden mehrere Leerzeichen hintereinander immer weggenommen. Sind das 'besondere' Leerzeichen, die Du verwendet hast?
Ich stehe nämlich auch oft vor solchen Formatierungsproblemen.
Bitte verrate doch Deinen Trick,
viele Grüsse,
Tobias |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 21:55: |
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Hi Tobias!
Eigentlich verrät ein Zauberer ja seine Tricks nicht, aber da ich das ja auch nicht selbst herausgefunden habe, sondern von irgendwem erzählt bekommen habe, hier die Auflösung:
Wenn Du in Deinem Text irgendwo die Zeile
\pre{
und weiter unten die Zeile
}
einbaust, dann werden im Textabschnitt zwischen den beiden Zeilen keine Leerzeichen mehr automatisch gelöscht. Unerwünschter Nebeneffekt: In diesem Abschnitt werden auch keine automatischen Zeilenumbrüche am Ende der Zeile durchgeführt.
Andere hilfreiche Formatierungshilfen finden sich hier. (Allerdings ist der Trick mit \pre hier nicht erklärt...)
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Tobias
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 12:19: |
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Hi Cosine!
Vielen Dank dass Du Dich in diesem Fall über den Zauberercodex hinweggesetzt hast. Das ist wirklich sehr hilfreich.
Besten Dank,
Tobias |
Niclas Doll (N02)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 13:42: |
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Hallo Cosine!
Ich dachte, so habe ich im Mail ja schon geschrieben, dass das Problem jetzt gelöst sei. Gewissermaßen ist es das auch, ich habe das Problem sogar noch auf eine andere Weise gelöst.
Allerdings habe ich nun das Problem, dass ich einen Rotationskörper finden muss (und nicht finde), der sich leert wie das Volumen des Lollis abnimmt.
Im Versuch habe ich die Lollieigenschaften schon herausgefunden:
k = 1/300 cm/sec, also 0,2 cm/min
U = 8,25 cm --> r = 1,313 cm
So weit bin ich gekommen:
V(t)=4/3*pi*(R-k*t)^3
--> h(t)=(4/3*pi*(R-k*t)^3)/(pi*r^2),
wobei h(t)=V(t)/(pi*r^2) ist, also die Pofilfunktoin eines Rotationskörpers ist, (wenn sie um die 2.Achse rotiert) dessen V(t) gleich V(t) der Kugel sein müsste.
Allerdings suche ich eine Funktion r(h), die den Radius der Profilfunktoin im Verhältnis zur Höhe angibt und um die 1.Achst rotiert. Ist das einfach die Umkehrfunktion?
Ich habe das Problem wahrscheinlich nicht besonders klar dargestellt, ich habe deshalb werde ich dir meine Facharbeit, so weit wie sie ist, noch mailen. Ich hoffe du hast nichts dagegen. Vieleicht wird das Problem zeigt sich hier etwas klarer.
Ich hoffe, dass du mir noch einmal helfen kannst, das erste Problem mit der Volumenabnahme des Lollis war nämlich so klar aufgebaut, dass ich es sofort verstanden habe.
Also nochmals ein ganz großes Dankeschön für die Lösung. Vielleicht kannst du mir ja auch hier noch weiterhelfen.
Niclas |
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