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Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 12:47: | 
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Hi!!
In einen Kreis mit dem Radius r soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden!! Bitte helft mir...
P.S.:Bitte sehr ausführlich und verständlich...mit den anderen Lösungen auf dieser Seite bin ich nicht klargekommen.
DANKE!!!! |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 16:09: |
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Hallo Till,
mach dir mal eine Skizze
einen Kreis mit dem Urpsrung als Mittelpunkt und dem Radius r (in der Skizze frei wählbar)
dann wähle einen Punkt auf dem Kreis im ersten Quadranten des Koordinatensystems (x>0 und y>0)
aber nicht den Punkt auf der y- bzw. x-Achse
der Punkt sei P(x|y)
den Zusammenhang zwischen y und x erhält man
durch die Kreisgleichung (schliesslich liegt der
gewählt Punkt auf dem Kreis)
Kreis: y² + x² = r²
ein Rechteck einbeschreiben bedeutet, dass alle
4 Eckpunkte des Rechtecks auf dem Kreis liegen
das Rechteck ist sowohl symmetrisch zur y- als auch zur x-Achse
Fläche dieses Quadrats:
A = 2x * 2y = 4xy
die Kreisgleichung ist die Nebenbedingung
diese kann man z.B. nach y auflösen und in
A einsetzen
dann ist A nur noch von x abhängig, r ist eine Konstante
und kann wie eine Zahl aufgefasst werden
von A bestimmt man dann die Extremwerte
Fortsetzung folgt ...
(sorry, musste aber dringend weg) |
chris_asteira
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 17:46: |
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bin so frei und schreibe weiter:
A=4*x*(r^2-x^2)^(1/2)
A^2=16*x^2*(r^2-x^2)...f(x)
f´(x)=-4x^3+2*r^2*x
f´(x)=0....x(2*r^2-4*x^2)=0
1.)x= 0 (in diesem fall sinnlos) oder
2.)2*r^2-4*x^2=0....x^2=1/2*r^2 also x=r/wurzel 2
einsetzen in kreisgleichung:r^2/2+y^2=r^2
also folgt y=r/wurzel 2
wenn also x=y= r/wurzel 2 ist hat man max. flächeninhalt.
viel glück,chrisi |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 18:05: |
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nochmals zu meiner obigen Lösung:
dort sollte es heissen:
Fläche dieses Rechtecks (nicht Quadrat)
und was eventuell unklar sein kann:
durch die Wahl eines Punktes im ersten Quadranten
werden automatisch die drei anderen festgelegt
Parallelen zu den beiden Achsen durch den
gewählten Punkt schneiden den Kreis
zum weiteren Lösungsweg von Chris sollte man
noch erklären warum von A² und nicht von A
die Extrempunkte bestimmt wurden
A² ist beim gleichen x-Wert extremal wie A
durch das Quadrieren wird das Ableiten
erheblich erleichtert, weil keine Wurzel
mehr vorkommt |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 19:39: |
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Habe nochmal ne' Frage....Warum muss man A=4*x*(r^2-x^2)^(1/2) schreiben. Wie kommt man da auf die hoch 1/2. Danke schonmal. Sonst ist alles sehr verständlich. |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 19:46: |
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hoch 1/2 ist das gleiche wie (2.) Wurzel
^1/2 ist hier einfacher zu schreiben als Wurzel
für alle die es noch nicht wissen:
hier kann man Wurzel mit \gr{Ö} schreiben
aus x² + y² = r²
erhält man y² = r² - x² oder y=Ö(r²-x²)
Fläche A = (2x)*(2y) = 4xy = 4xÖ(r²-x²) |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 19:54: |
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Noch ne' dumme Frage!! Warum ist die Fläche des Rechtecks 2*x * 2*y=A. Und nicht x*y=A |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:03: |
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Diesen Schritt verstehe ich auch nicht ganz: A^2=16*x^2*(r^2-x^2)...f(x)
f´(x)=-4x^3+2*r^2*x |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 10:57: |
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HELFT MIR DOCH BITTE!!! |
Michael H
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 18:32: |
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zum Flächeninhalt:
mach dir mal eine Skizze:
Kreis mit Ursprung als Mittelpunkt
P auf Kreis im ersten Quandranten
P(x|y), Q(-x|y), R(-x|-y), S(x|-y)
alle Punkten liegen auf dem Kreis
Rechteck ist symmetrisch zu beiden Achsen
Breite: PQ = RS = x-(-x)=2x
Länge(Höhe): QR = SP = y-(-y)=2y
zur Ableitung:
f(x)=16x²(r²-x²) r ist Konstante
mit Produktregel:
f´(x)=16*2x(r²-x²)+16x²(-2x)=32xr²-32x³-32x³
f'(x)=32xr²-64x³
f'(x)=0 ==> 32x(r²-2x²)=0
x=0 oder r²=2x²
x=Ö(1/2)r
einfacher ist die Ableitung, wenn man vorher
ausmultipliziert:
f(x)=16x²r²-16x4
f'(x)=32r²x-64x³ |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 19:09: |
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Die Lösung erscheint mir trotzdem unlogisch. Wenn y=x=r/wurzel 2 ist, dann muss es ja ein Quadrat sein. Es soll aber ein Rechteck sein. |
Daniel Börstler (Blumentopf)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 20:50: |
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ein Quadrat ist doch auch ein Rechteck eben nur ein spezielles (Rechteckgleichung ist f=a*b wenn a=b nennt man es auch Quadrat!)
MfG
Blumentopf |
