| Autor |
Beitrag |
    
FloMo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 10:24: | 
|
Hilfeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich hoffe ihr koennt mir bei folgender Aufgabe helfen: Gegeben sind die Parabel zu x2=-0,25x1HOCH2 und der Punkt P(-4/-4) der Parabel. Gesucht ist ein Kreis, der die Parabel in P sowie die x1-Achse berührt. |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 11:41: |
|
Holladiho, ich habe mich für Dich gequält und mir Folgendes überlegt (am besten, Du malst Dir das Ganze mal auf):
Wir haben die Parabel y(x) = -0,25x2 und können somit die Ableitung y'(x) = -0,5x bestimmen. Im Punkt (-4/-4) hat die Parabel folglich die Steigung m = y'(-4) = -0,5*(-4) = 2 . Soweit nicht schwer.
Jetzt kommt die Überlegung: Der Mittelpunkt des Kreises muss im senkrechten Abstand von der Parabel genauso weit entfernt sein wie von der x-Achse. Der Abstand zur x-Achse ist letztendlich der Radius, das Negative davon die y-Koordinate des Kreismittelpunktes. Den Abstand zur Parabel berechne ich (zunächst mit Variablen) über eine Hilfsgerade, die senkrecht zu der Tangenten im Punkt (-4/-4) verläuft.
Steigung der Senkrechten: ms = -1/mt = -1/2
Punkt (-4/-4) erfüllt Gleichung Þ -4 = (-1/2)*(-4) + b Þ b = -6
Þ Senkrechte: y = -1/2 x - 6
Entlang dieser Geraden bestimmen wir jetzt den Mittelpunkt. Es muss gelten:
1. (-4 - xm)2 + (-4 - ym)2 = r2 (von der Parabel her)
2. ym2 = r2 (von der x-Achse her)
Also:
(-4 - xm)2 + (-4 - ym)2 = ym2
Þ 16 +8xm +xm2 + 16 +8ym +ym2 = ym2
Þ 32 +8xm +xm2 +8ym = 0 | ym=-1/2 xm - 6 da auf der Senkrechten
Þ 32 +8xm +xm2 +8(-1/2 xm - 6) = 0
Þ xm2 +4xm -16 = 0
Þ xm = -2 ±Wurz(4+16) = -2 ±2*Wurz(5)
Es gibt also zwei Lösungen. Um die y-Koordinate (und damit auch den Radius) zu erhalten, setzen wir in die Geradengleichung ein:
ym = -1/2*(-2±2*Wurz(5)) - 6 = 1 -+Wurz(5) - 6 = -5 -+Wurz(5)
Also erhalten wir die zwei Kreise
K1 : xm=2,472 ; ym=-7,236 ; r=7,236
K2 : xm=-6,472 ; ym=-2,764 ; r=2,764
Gruß Dörrby |
|
