| Autor |
Beitrag |
    
Anja Pöllmann (Sarigerme)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 15:54: | 
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f(x)= ax(x hoch 4)+bx (x hoch 3)+cx(x hoch2)+dx+e schneidet die x-Achse an Punkten 0 und 2.
An der Stelle 1 liegt ein Wendepunkt mit der Wendetangente w: 2x+y-1.
Ges.: f(x) |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 18:15: |
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Schnitt der X-Achse bei 0 und 2:
f(0)=0 ==> e=0
f(2)=0 ==> a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + 0 = 0
16*a + 8*b +4*c + 2*d = 0
Wendepunkt bei x=1:
f´´(1)=0
Wendetangente: w: 2x+y-1=0 (Angabe in Aufgabe nicht vollständig!)
w: y = -2x +1
Steigung im Wendepunkt (x=1): m = f´(1) = -2
y des WP: y = -2*(1) +1 = -1 WP(1;-1)
allgemein:
Ableitungen der ganzrationalen Funktion 4. Grades
f´(x) = 4a*x^3 + 3b*x^2 + 2c*x + d
f´´(x)= 12a*x^2 + 6b*x + 2c
f´(1)=-2 ==> 4a + 3b +2c + d = -2
f´´(1)=0 ==> 12a + 6b +2c = 0
f(1)=-1 ==> a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + 0 = -1
a + b + c + d = -1
gesucht sind die Koeffizienten a,b,c,d und e
aus obiger Rechnung erhält man:
e=0 und lineares Gleichungssystem;
16a + 8b +4c +2d = 0 (1)
4a + 3b +2c + d = -2 (2)
12a + 6b +2c = 0 (3)
a + b + c + d = -1 (4)
a + b + c + d = -1 (4)
-4b -4c -2d = 8 (1)-4*(2) = (5)
-3b -4c -3d = 6 (3)-3*(2) = (6)
-b -2c -3d = 2 (2)-4*(4) = (7)
a + b + c + d = -1 (4)
-b -2c -3d = 2 (7)
4c + 10d = 0 (5)-4*(7) = (8)
2c +6d = 0 (6)-3*(7) = (9)
(8)-2*(9) ergibt: 4d=0 ==> d=0 (10)
(10) in (8): c=0 (11)
(10),(11) in (7): b=-2 (12)
(10),(11),(12) in (4): a - 2 = -1 ==> a=1
als Funktionsgleichung erhält man somit:
f(x) = x^4 - 2x^3
Kontrolle:
f(0) = 0
f(2) = 16 - 2*8 = 0
f´(x) = 4x^3 - 6x^2
f´´(x) = 12x -12
f´´(1) =12 -12 = 0 WP bei x=1
f´(1) = 4 - 6 = -2 Steigung der Wendetangenten |
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