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Beitrag |
    
Caro und Michi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 18:11: | 
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Wir suchen eine Lösung - die Funktionsgleichung - um folgendes Beispiel lösen zu können:
Eine Parabel dritter Ordnung hat den Wendepunkt W (2, 2/3) und die Nullstelle N (3, 0). Der Anstieg der Wendetangente sei -1. Wie ist dieses Beispiel zu lösen? |
MP (Kruemelmonster)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 21:38: |
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Ersteinmal müsst ihr die allgemeinen Lösungsformeln für eure Funktion aufstellen:
(Da ein Wendepunkt vorhanden bis zur 2. Ableitung)
f (x) = ax^3 + bx^2 + cx^2 + d
f´ (x) = 3ax^2 + 2bx + c
f´´(x) = 6ax + 2b
Mit diesen Formeln könnt ihr nun eure Punkte als Funktionswerte einsetzten(!)
Als erstes die Nullstelle Xo(3/0)also:
f(x) = 0
1.) 0 = 27a + 9b + 3c + d
Dann der Wendepunkt:
f´´(x) = 0
2.) 0 = 12a + 4b
Noch mal der Wendepunkt:
f(x) = 2/3
3.) 2/3 = 8a + 4b + 2c + d
Und als letztes der Anstieg:
4.) f´(x) = -1
-1 = 12a + 4b + c
-------------------
Das ersteinmal als Voraussetzung(!):
jetzt zum eigentlichen Rechnen:
Nun stellt ihr eine der Gleichungen nach einer gesuchten Variable um:
Ích nehme die 2.)
--> 5.) b = -3a
somit habt ihr die erste Variable ausgeschalten(!)
Diese erhaltene Funktion setzt ihr nun in die noch übrigen Funktionen ein(!)
5.)in 1.):
6.) 0 = 27a - 27a + 3c +d
5.)in 3.):
7.) 2/3 = 8a - 12a + 2c +d
5.)in 4.):
8.) -1 = 12a - 12a + c
---------------------------------------------
Aus der Formel 8 läßt sich nun ablesen das
9.) c = -1 (da 12a - 12a bekantlich 0 ist)
jetzt habt ihr die erste Variable gelöst(!)
Die funktion 9.) jetzt einfach in die Funktion 6.) einsetzten da sich dort auch das a mit 27a-27a raus kürzt(!)
Somit erhaltet ihr für
10.) d = 3
Wenn ihr nun eure Ergebnisse für d und c in die Funkion 7.) einsetzt erhaltet ihr für a das Ergebnis:
11.)a = 1/12
Setzt ihr nun dieses für a erhaltene Ergebnis in die Funkion 6.) ein--> erhaltet ihr für b = -1/4
--------------------------------------------------jetzt habt ihr alle benötigten variablen berechnet und braucht sie nur noch in die Grundfunktion einsetzten die da lautet:
f(x) = 1/12x^3 -1/4x^2 -x +3
--> Das ist also die komplette fertige Funktion für die von Euch gesuchten Vorgaben(!)
Schönen Abend noch MP |
MP (Kruemelmonster)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 21:42: |
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Weitere Hilfe Findet ihr unter
-Klasse 11
-Differentialrechnung
-brauche schnell hilfe
--> ...ähnliche Aufgabe... |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 22:14: |
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Hallo Caro und Michi und MP,
Mein Ergebnis:
f(x) = x³/3 - 2x² + 3x
=======================
Nachrechnen! |
StK
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 10:35: |
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Hallo Fern,
Deine Lösung scheint richtig zu sein, ich komme nämlich auf das gleiche Ergebnis.
Ich glaube ich weiß auch wo bei MP der Fehler liegt:
Bei der Anwendung der 2. Ableitung muß es heißen f''(2) = 0 => 12a + 2b = 0. Damit ergeben sich dann Gleichungen in a für b, c und d die man dann mit dem Ergebnis für a, a=1/3, ausrechnen kann.
Gruß,
Steffi. |
MP (Kruemelmonster)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 12:10: |
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Sorry Leute....
Ich hab da irgendwie die 2. und 3. Ableitung verwechselt..... aber ich hoffe ihr wißt jetzt trotzdem wie das funktioniert.....
nochmals SOrry und ein schönes Wochenende.... |
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