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Serry (Serry)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 14:27: | 
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Ich hab mal wieder ein riesiges Problem. Es wär ganz lieb von dir, wenn du mir helfen könntest.
Die Aufgabe lautet:
Jede der Funktionen f(x)=tx^3+(t^2+1)x^2+x hat eine Wendestelle. Für welchen Wert von t liegt die Wendestelle am nächsten bei Null? Gib den zugehörigen Wendepunkt an.
Danke für deine Hilfe. |
Paul Steuermann (Derdiedasletzte)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 18:51: |
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Zunächst errechnen der 2. und 3. Ableitung von f(x)
f(x)=tx^3+((t^2)+1)x^2+x
f´´(x)=6tx+4t+2
f´´´(x)=6t
Jetzt setze f´´(x)=0 (Notwendige Bedingung), um eine mögliche Wendestelle zu errechnen, d.h.:
6tx+4t+2=0
=> x=(-1/3t)+(2/3)
Hierfür muß gelten: t un= 0 ;
und somit gilt auch f´´´(x) un= 0 (Hinreichende Bedingung)
=> f hat an der Stelle x=(-1/3t)+(2/3) eine Wenedestelle.
Setze das x jetzt in f(x)ein, dies gibt dir die Funktion die du brauchst.
Nenne sie z.b. f(t)
f(t)=4t^2/9 - 1/9t + 2/27t^2 + 23/27
Diese Funktion muß jetzt auf ihr Minimum hin untersucht werden:
d.h. konkret
(mehr oder weniger, da du t in deiner Aufgabe leider nicht definiert hast. Ich geh einfach davon aus das t Element der rationalen Zahlen ist)
Ableitungen:
f(t)=s.o.
f´(t)=8t/9 + 1/9t^2 -4/27t^3
f''(t)=72/81 - 2/9t^3 + 12/27t^4
Setze f´(t)=0 (Notwendige Bedingung)
=> t=ca. 0,23286 v t=ca. -0,35786
Jetzt die beiden werte in f´´(t) einsetzten (Hinreichende Bedingung)
=> f´´(0,23286)= ? aber auf jeden Fall < 0
=> lokales Maximum an der Stelle
f´´(-0,35786)= ? aber auf jeden Fall > 0
=> lokales Minimum an der Stelle
Aus dem ganzen Zeug folgt dann, daß für
t= ca. -0,35786 die Wendestelle bei 0 liegt.
Ich hoffe, daß ich dir damit nichts falsches gesagt habe, rechne besser nach.
Viel Glück
xxx |
Harald
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 20:17: |
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Hallo Serry,
die obige Antwort von Paul Steuermann ist leider nicht ok!
Besorge dir zuerst einmal die ersten 3 Ableitungen deiner Schar ft(x):
- Beachte dabei, dass t eine Konstante ist.
- Hier solltest du landen: f'''t(x)= 6 t
Dann berechne den Wendepunkt: f''t(x)= 0 und f'''t(x)<> 0
Als Ergebnis erhälst du dann:
Für die x-Entfernung zur Null bekommst du aus der x-Koordinate eine neue Funktion, deren Minimum du noch berechnen musst:
Min: d'(x)=0 und d''(x) > 0
Deine Berechnungen für das Minimum kannst du auch mit der Grafik kontrollieren.
Als Ergebnis erhälst du dann (vertausche x und t!):
Viel Spaß beim Nachrechnen der einzelnen Schritte. |
Else
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 18:05: |
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Hallo!
Abstände sind aber immer positiv! Also heisst das doch d=(x^2+1)/(3|x|).
Kontrolliert hier eigentlich keiner die Postings???
Teilweise stehen hier ja ziemlich haarsträubende Sachen.
Else H. |
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