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Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 21:17: | 
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Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Gegeben ist ein quadratisches Blech mit der Seitenlänge a. Aus den 4 Ecken sollen Quadrate mit der Seitenlänge x so herausgeschnitten werden, dass man daraus einen offenen Kasten mit maximalem Inhalt (Volumen = Grundseite mal Höhe) erhält.
Wie gross ist das Volumen?
Wie gross sind die Quadrate, die man herausschneiden muss?
Vielen Dank für die Antworten!
Gruss
Frank |
Stefan Klein
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 14:48: |
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Hallo Frank!
Die Hauptbedingung ist V=b²*h , (b² weil die Grundfläche des Kastens quadratisch sein soll und h ist die Höhe des Kastens)
Die Nebenbedingung ist b=a-2x also ist b²=(a-2x)²
dies in die Hauptbedingung eingesetzt ergibt das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe(x=h)
V(x)=(a-2x)²*x=4x³-4ax²+a²x .
Wo verhält sich die Volumenfunktion nun extrem?
Dort wo ihr Anstieg 0 ist.Also 1.Ableitung bilden und 0 setzen.
V'(x)=12x²-8ax+a²=x²-8/12x+a²/12
Nun setzt Du einfach in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ein.(steht in der Formelsammlung)
Du erhälst 2Lösungen: x1=a/6 und x2=a/2
Nun setzt Du x1 und x2 in die 2.Ableitung ein.
V''(x)=24x-8a , V''(a/6)<0 daraus folgt V(x) hat an der Stelle x=a/6 ein Maximum und V''(a/2)>0 daraus folgt V(x) hat an der Stelle x=a/2 ein Minimum.
Um das maximale Volumen zu berechenen Bestimmst Du einfach V(a/6), die Quadrate, die heraus geschnitten werden können um das größt mögliche Volumen zu erzielen haben eine Fläche von A(a)=(a/6)². Nun fehlt nur noch das Verhalten an den Randpunkten:Hier zu mußt Du den Grenzwert der Volumenfuntion für x gegen 0 und x gegen a/2 bilden. Geht x gegen 0 so wird auch das Volumen 0 weil (a-2*0)²*0=0 und geht x gegen a/2 so wird geht das Volumen ebenfalls gegen Null (a-2a/2)²a/2=0.Also ist unser Maximum global (größt mögliches Volumen an der Stellex=a/6) |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 15:12: |
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Hallo Stefan,
vielen Dank für die Antwort!
Aber wie finde ich heraus, wie gross die Quadrate sind, die herausgeschnitten werden müssen?
Danke.
Gruss
Frank |
Stefan Klein
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 13:31: |
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Hallo Frank!
Die Seitenlänge der Quadrate wurde doch mit x definiert. Die Volumenfunktion V(x) ist abhängig von dieser Seitenlänge. Mit dem Berechnen der Extremstellen der Volumenfunktion V(x) haben wir die Seitenlänge der Quadrate berechnet, die herausgeschnitten werden müssen, um ein größt mögliches (bzw.ein kleinst mögliches) Volumen zu erzielen. Also Du bestimmst die Nullstellen der 1.Ableitung, denn diese Nullstellen sind Extremstellen von V(x) und sie sind auch Längen der Seiten x der Quadrate , die herausgeschnitten werden müssen. In Deinem Fall gibt es zwei Stellen an dennen sich V(x) extrem verhält, nämlich x1=a/2 und x2=a/6. Das sind zwei Seitenlängen. Für die Länge x1=a/2 ist das Volumen des Kastens am kleinsten nähmlich 0 und für die Länge x2=a/6 ist das Volumen des Kastens am größten nämlich V(a/6). Werden also Quadrate mit der Seitenlänge a/6 herausgeschnitten ist das Volumen des Kasten am größten. Diese Seitenlänge ist natürlich abhängig von a. Also ist die Fläche der Quadrate,die herausgeschnitten werden müssen, A= a/6*a/6=(a/6)²
und ihr Umfang ist U=4*a/6=2a/3.
Dieser Teil ist wahrscheinlich wegen der Unübersichtlichkeit meiner Lösung etwas untergegangen. Sorry! Ich gelobe Besserung.
Gruß
Stefan |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 14:54: |
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Danke, du hast mir sehr geholfen!
Gruss
Frank |
Vanessa
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 17:28: |
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sende mir doch einer dringends die Gewichte Edelmetalle auf einem Kubikmeter unt Vanny_nessy@yahoo.de zu danke!!!!!!!!!!!! |
philomath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 10:12: |
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Hallo Vanessa, bitte für neue Fragen neuen Beitrag öffnen. Kannst Du die Frage noch einmal stellen, man kann nicht genau ersehen, was Du wissen möchtest. |
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