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Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 12:50: | 
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Hier die aufgabe:
bestimme a,b,d so,dass (1/-13) Wendepunkt und y=-24x+11 Wendetangente des Graphen von f mit f(x)=ax^3-bx^2-18x+d wird.
Ich hoffe es ist für euch alles klar!!! |
Michael Poitz (Kruemelmonster)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:10: |
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HI du!
Als erstes mußt du die Ableitungen deiner gegebenen Funktion 3. Grades bilden:
f(x) =ax^3 + bx^2 +cx +d
f´(x) =3ax^2 + 2bx +c
f´´(x)=6ax + 2b
Von diesen Ableitungen gehst du nun aus:
Da du 4 zu suchende Variablen hast mußt du auch 4 Gleichungen aufstellen um alles herauszubekommen!
Als erstes erkennt man aus deiner Gleichung dass c=-18 ist(!)
Dann erkennt man das die gesuchte Funktion durch den Punkt (1/-13) läuft (ersteinmal egal was für ein Punkt das ist hauptsache die Funktion erfüllt diesen(!)
-13 = a + b + c +d
Dann erkennt man am Wendepunkt, dass die 2 Ableitung an diesem Punkt x (hier 1) 0 sein muß:
0 = 6a + 2b
Und als letztes erkennt man an der Funktion der Wendetangente den Anstieg der Funktion an dem gegebenen Punkt ( immer nach dem Schema:
f(x) = mx +n (wobei m der Anstieg ist).
Also legt man als letztes Fest der Anstieg ist gleich der ersten Ableitung da man aus der ersten Ableitung einer Funktion immer den Anstieg an einem bestimmten Punkt berechnen kann))
Also:
-24 = 3a + 2b +c
Jetzt noch einmal die Gleichungen im Überblick:
1.) c = -18
2.)-13 = a + b + c +d
3.) 0 = 6a + 2b
4.)-24 = 3a + 2b + c
Nun setzt du einfach die erste in alle drei Gleichungen ein und erhältst dann:
1.) -13 = a + b -18 + d
2.) 0 = 6a + 2b
3.) -24 = 3a + 2b -18
Nun hast du nur noch drei Variablen und drei Gleichungen(!)
Jetzt stellst du die 2.) Gleichung nach a oder b um (ich nehme nach a)
somit erhältst du
a = -1/3 b
Diese Funktion setzt du nun in die oben erhaltenen Gleichungen 1.) und 2.) ein und erhältst:
5.) -13 = -1/3b + b -18 + d
6.) -24 = -b + 2b -18
Wenn du nun die 6.) Gleichung nach b umstellst erhältst du b = -6
Dieses Ergebnis setzt du nun in die 5.) Gleichung ein: und erhältst:
d = 9
Nun fehlt dir nur noch a! Das erhältst du indem du die erhaltenen Werte für
b=-6, c=-18, und d=9; in die in der Übersicht aufgeführten Funktion 2.) einsetzt!
Dort erhältst du nun die letzte variable a mit dem Wert a = 2 (!)
Jetzt kannst du deine Endgleichung aufstellen und im Grafikmenü überprüfen(!)
f(x) = 2x^3 - 6x^2 -18x +9 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:17: |
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Hi Till.
Die Ableitungen von f(x) sind :
f ' (x) = 3 a x^2 - 2 b x - 18
f ''(x) = 6ax - 2b
Zur Ermittlung der drei Koeffizienten a, c, und d benötigen wir drei Gleichungen; diese ergeben sich aus den Bedingungen:
(1)
Die Kurve hat für x = 1 einen Wendepunkt, also f ''(1) = 0:
6a - 2b = 0
(2)
die Wendetangente hat die Steigung m = - 24, also f' (1) = -24:
3a - 2b - 18 = - 24
(3)
Der Wendepunkt W(1 / - 13) liegt auf der Kurve, also yW = f(xW):
a - b -18 + d = -13
Daraus findet man: a = 2 , b = 6 , d = 9.
Gruss
H.R.Moser megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:20: |
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Hi Michael,
Ich habe im Eifer übersehen,dass Du die Aufgabe von Till schon gelöst hast.
Zweimal ist besser als keinmal !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Till (Tm16)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 18:42: |
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Warum drehen sich bei den Ableitungen die Vorzeichen um ?? (Michael) |
MP (Kruemelmonster)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 20:36: |
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Nach meinen Berechnungen würde ich sagen stimmt das. Denn nach deinen Berechnungen würde die Formel so lauten:
f(x) = 2x^3 + 6x^2 -18x + 9
wenn du nun den gegebenen Wendepunkt einsetzt
WP(1,-13)einsetzt erhältst du:
-13 = -1 und das ist denke ich mal nicht richtig (?)...großes Schweigen....
Wie du in meiner Rechnung 6.) siehst muß "b" negativ sein und nicht wie bei dir angegeben positiv(!)...(H.R. Moser)
wenn ich mich irren sollte dann meldet euch einfach noch mal... noch nen schönen Abend!! (Till u. H.R Moser) |
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