| Autor |
Beitrag |
    
Friedrich
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 18:29: | 
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Hallo ich habe hier mal was ganz besonders aufregendes:
Ich mache hier mal eine Zusammenfassung und hoffe, daß mich jemand berichtigt.
Summe (an)
Um die Konvergenz von Reihen zu ermitteln braucht man ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium.
Das notwendige Kriterium ist lim an = 0
an -> Unendlich
Wenn das so ist, heißt das aber noch lange nicht, daß es sich um eine konvergente Reihe handelt. Hierfür braucht man ein hinreichendes Kriterium. ---> Majorantenkriterium
---> Wurzelkriterium
---> Quotientenkriterium
Definition:
Wenn beim Wurzel- und beim Quotientenkriterium
ab einer bestimmten Stelle
p alle Werte p) sind, dann heißt das, daß es sich um eine konvergente
Reihe handelt.
|an+1/an| < q < 1; n-te Wurzel (an) < q < 1
Wenn es nicht < q = 1 ist, dann kann es sich aber trotzdem um eine konvergente Reihe handeln. (Ist das auch so, wenn mit allen hinreichenden Kriterien nicht auf die Konvergenz geschlossen werden kann?)
Wenn bis hier jetzt alles in Ordnung ist, dann verstehe ich aber die harmonische Reihe nicht.
n
Summe (1/n)
n = 0
Das notwendige Kriterium ist hier erfüllt:
lim an = 0
Das Wurzelkriterium ist auch erfüllt:
1 / [n-te Wurzel(n)] < q < 1
Damit würde ich auf die Konvergenz der Reihe schließen, da das notwendige und ein hinreichendes Kriterium erfüllt ist, aber ich weiß aus der Mathevorlesung, daß sie divergent ist.
Wo ist mein Denkfehler???????????????
Gruß Friedrich
f.strehlow@topmail.de |
Clemens
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 22:36: |
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Hallo, Friedrich!
Das Wurzelkriterium ist in meiner Analysis-Vorlesung so gekommen:
(an) ist eine Folge in R, Rm oder C und sei
a := limsupn||an||1/n.
Dann gilt:
a < 1 => Soo n=1an ist absolut konvergent
a > 1 => Soo n=1an ist divergent
limsup ist der größte Häufungspunkt, das weißt du sicher. Wenn die Folge streng monoton steigend ist, gilt daß limsup=sup.
Nun zur harmonischen Reihe.
du kannst 1/(n1/n) zwar nach oben mit 1 beschränken, aber das nützt dir für das Wurzelkriterium nichts.
Dein Denkfehler ist, daß du geschrieben hast, Es gibt ein q<1 daß 1/(n1/n) < q
So ein q kannst du nicht finden, und zwar deswegen, weil 1/(n1/n) gegen 1 konvergiert, d.h. insbesondere daß du für jedes noch so nah an 1 liegende q ein n finden wirst sodaß 1/(n1/n) > q ist.
Es ist eben ein Unterschied, ob du was mit 1 beschränken kannst oder mit etwas was echt kleiner als 1 ist!!
Für den Nachweis der Divergenz der harmonischen Reihe kannst du aber bequem den Verdichtungssatz von Cauchy benutzen. Dieser sagt aus:
Sei (an) eine monoton fallende Folge in R0+. Dann gilt:
Soo n=1an ist konvergent genau dann wenn Soo n=12ka2k
1/n ist so eine monoton fallende positive Folge
nun untersuchst du die im Satz rechts stehende Reihe zur harmonischen Folge:
Soo k=12k*1/2k = Soo k=11 und das ist divergent.
Also folgt mit dem Satz, daß auch die harmonische Reihe divergiert.
Der Beweis ist übrigens auch ganz interessant und nicht mal so schwer. Die Grundidee ist, daß
S2k+1-1 j=2k[aj] £ 2ka2k £ 2S2k+1-1 j=2k[aj]
gilt (aufgrund der Monotonie!)
den Rest besorgt das Majorantenkriterium.
/Clemens |
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