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Beitrag |
    
Friedrich
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 11:24: | 
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Beweis, daß die Summe der Zahlen in jeder Ebene
des Pascalschen Dreieck 2^(n-1) entspricht.
(durch Vollständige Induktion!)
z.B. für Ebene 5:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^(5-1) = 16
Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlenschema, bei dem sich die Zahlen Ebenenweise immer aus der links und rechts darüberliegenden Zahlen ergibt.
E-Mail: f.strehlow@topmail.de
Ebene 1: 1
Ebene 2: 1 1
Ebene 3: 1 2 1
Ebene 4: 1 3 3 1
Ebene 5: 1 4 6 4 1 |
Clemens
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 15:56: |
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Hallo, Friedrich!
Definieren wir mal das Pascalsche Dreieck etwas mathematischer.
P(i,k) ist die Zahl in i-te Zeile und die k-te Spalte des Dreiecks.
Für alle i aus N gilt:
P(i,1) = P(i,i) = 1
wenn 1<k<i und i aus N dann gilt:
P(i,k) = P(i-1,k) + P(i-1,k-1)
Induktionsanfang: i=1
P(1,1) = 1 = 2^(0) = 21-1 ok
Induktionsbehauptung:
für ein i aus N gilt:
Si k=1P(i,k) = 2i-1
Induktionsschluß
wir nehmen an, daß die Induktionsbehauptung für i-1 wahr ist, also
Si-1 k=1P(i-1,k) = 2i-2
Si k=1P(i,k) =
das erste und das letzte Glied ist 1, auf die restlichen wenden wir die Definition des Dreiecks an.
= 2 + Si-1 k=2P(i,k) = 2 + Si-1 k=2[P(i-1,k) + P(i-1,k-1)] =
die summe spalten wir auf und bekommen
= 2 + Si-1 k=2P(i-1,k) + Si-1 k=2P(i-1,k-1) =
letztere Summe schreiben wir um, indem wir eine index-shift k->k-1 machen
= 2 + Si-1 k=2P(i-1,k) + Si-2 k=1P(i-1,k) =
nun lassen wir die Indices voll durchlaufen indem wir P(i-1,1) und P(i-1,i-1) abziehen, der 2er fällt weg
= Si-1 k=1P(i-1,k) + Si-1 k=1P(i-1,k) = 2*[Si-1 k=1P(i-1,k)]
dies ist nach Induktionsvoraussetzung
= 2*2i-2 = 2*i-1
q.e.d.
/Clemens |
Friedrich
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 18:44: |
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Mensch, daß ich da nicht selber draufgekommen bin! |
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