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tina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 17:10: | 
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1)Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x)= 1/6 (x² + 1)
a) In welchem Punkt des zugehörigen Graphen haben Ordinate und Steigung die gleiche Maßzahl?
b) Welchen Winkel bildet eine diesen Kurvenpunkt berührende Tangente mit der x-Achse?
2)Eine Sekante schneidet den Graphen der Funktion f(x)=0,25x (x-4) +1 in den Punkten P1 und P2, zu denen die Abszissen x1=3 und x2=4,5 gehören. In welchem Punkt des Graphen ist dessen Steigung genauso groß wie die Steigung der Sekante?
Zu 1a habe ich schon selbst eine Rechnung erstellt, weiß dann aber nicht wie ich b ausrechnen soll
1a) f(x)=1/6(x²+1) somit habe ich den Punkt 1 und 1/3
f(x)=1/3
1/3=1/6x²+1/6
1/3=1/3x
x=1
Zu 2 habe ich allerdings keine Idee, kann mir jemand sofort helfen????Es ist sehr wichtig für mich!!! |
Tinka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 21:15: |
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Du hast nicht genug Ausrufungszeichen gemacht! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 22:03: |
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Hi Tina,
zu a)
Ableitung y ' = x / 3 = m
Bedingung: m = 1/6 * (x^2 + 1 ), also::
x^2 - 2x + 1 = 0 oder
(x-1)^2 = 0 ; Doppellösung x = 1 .
Gesuchter Punkt: P(1; 1/3).
b)
gesuchter Winkel alpha aus m = tan(alpha ) = 1/3:
alpha ~ 18.43° .
c)
Aus x = x1 = 3 berechnen wir y1 = ¼ ;
aus x = x2 = 9/2 berechnen wir y2 = 25/16 .
Steigung u der Sekante: u = (y2 -y1) / ( x2 - x1) = 7/8
Wir setzen diese Steigung der Ableitung y ' gleich:
7/8 = ½ x -1 , daraus x = 15/4 als x-Wert des
Berührungspunktes der Tangente
Bemerkenswert am Resultat ist die Tatsache, dass dieser Wert
mit dem arithmetischen Mittel der x-Werte der Punkte P1, P2
übereinstimmt.
Dieses Phänomen tritt für alle Sekanten und für alle Parabeln ein,
deren Achsen zur y-Achse parallel sind
Der y-Wert des Berührungspunktes ergibt sich durch Einsetzen
von x = 15/4 in die Parabelgleichung zu y = 49 /64.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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