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Beitrag |
    
makaroni
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 15:31: | 
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Hallo zusammen,
wie kann ich die Aufgabe ohne probieren lösen?
Geben sie eine Folge (an) mit der angegebenen Eigenschaft an, die den Grenzwert g hat.
a)an ist monoton wachsend
g=-2 |
Michael Krauss
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 10:24: |
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Man loest solche Aufgaben indem man an den gewuenschten Grenzwert eine Nullfolge (z.B. 1/n) addiert, die ueber die gewuenschte Eigenschaft verfuegt.
Bei gegebener Aufgabenstellung:
Setze (an) = -2 + -1/n = -2 - 1/n
Beweis:
z.z.: (an) konvergiert gegen -2
Sei E > 0 gegeben
waehle n0 = 1/E, dann gilt fuer alle n > n0:
|an - (-2)| = |-2 - 1/n + 2 | = |-1/n| = 1/n
< 1/n0 =1/1/E = E
=> nach Def. der Konvergenz lim (an) = -2
z.z. -1/n ist monoton wachsend
Setze -1/n <= -1/(n+1)
<=> -1/(n+1) + 1/n >= 0
<=> -n/(n(n+1)) + (n+1)/(n(n+1)) >= 0
<=> (n+1-n)/(n(n+1)) >= 0
<=> 1/(n(n+1)) >= 0
=> da n positiv ist Ungleichung erfuellt
q.e.d. |
Miriam
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 15:13: |
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Versuch herauszufinde, welche der Folgen konvergent sind. Wie heißt dann der Grenzwert?
a(n)= (1-(-1)(n))*1/n |
Sven
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 15:47: |
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Hallo Miriam,
um den Grenzwert der Zahlenfolge (1-(-1)*(n))*1/n zu bestimmen, mußt du erstmal die Klammern auflösen.
(1 + n)/n
Der Grenzwert dieser Folge ist 1, -> n/n = 1.
Für den Fall du meintest die Zahlenfolge (1-(-1)n)*1/n, solltest du dir erstmal das (-1)n anschauen. Für geradzahlige n (2n) wird dieser Ausdruck positiv, für ungerade n (2n + 1) wird er negativ.
Es gilt also:
lim (1-(-1)^(n))*1/n = +1 / n für 2n,
und lim (1-(-1)^(n))*1/n = -1 / n für 2n+1.
Eine Zahlenfolge kann aber nicht gegen zwei Werte gleichzeitig konvergieren, also ist sie divergent.
Gruß, Sven |
Sven
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 15:52: |
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Sorry, stimmt nicht. Hab was vergessen. Für 2n konvergiert die Folge gegen 0, 0/n -> 0, und für 2n+1 auch, 2/n -> 0. Sie ist also konvergent.
Bitte nochmals um Entschuldigung. |
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