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Bianca
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:56: | 
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Hallo! Unser Lehrer hat uns in der letzten Stunde gesagt, wir sollen mal drüber nachdenken, was mehr Punkte hat: Ein Kreis oder eine Gerade...
Ich habe keine Ahnung, was mehr Punkte hat. Man kann ja nicht abzählen, oder???
Eine Gerade hat unendlich Punkte, aber ein Kreis ja wahrscheinlich auch.
Ich würde trotzdem irgendwie auf die Gerade tippen, weil die ja länger ist als der Kreis-Umfang.
Macht die Frage irgendeinen Sinn??? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:58: |
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falsch! der kreis hat ein punkt mehr und die frage macht kein sinn |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 07:47: |
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Hallo Bianca, weder die Punkte der Geraden noch die der Kreislinie lassen sich zählen. Deshalb müßte man vorher darüber nachdenken, was "mehr Punkte" zu bedeuten hat beziehungsweise bedeuten soll. Vielleicht kann man diese Punktmengen irgendwie vergleichen? F. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 10:41: |
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Danke, Franz, aber was meinst Du mit "vergleichen"? Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber irgendwie sagt mir das jetzt nichts... |
Danny (Danny)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 11:51: |
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Hi Bianca!
Die Frage ist irgnedwie sinnlos. Natürlich hat beides unendlich viele Punkte, aber so gesehen hat ein Kreis - wenn man ihn als Fläche betrachtet - mehr Punkte als eine Gerade. Trotzdem ist die Frage irgendwie blöd, man könnte genau so gut Fragen: Was ist wohl blödsinniger - die Frage oder der zugehörige Lehrer?
Danny |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 12:27: |
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Hallo Bianca, die Frage hebt sich wohltuend von dem Routinekram ab und ich vermute, daß hier ein guter Lehrer versucht hat, den mathematischen Spürsinn der Schüler anzuregen.
Zum Vergleichen endlicher Mengen kann man wie gewohnt abzählen: Sind mehr Kaugummis oder Zigaretten im Schulrucksack. n(K)>=n(Z) meinetwegen.
Man kann aber auch anders herangehen und bildet jeweils "Paare" K1/Z1, K2/Z2 usw. Die Sorte/Menge, bei der am Schluß was übrig bleibt, ist "größer".
Dieser Art des "Vergleichens" versucht man auch bei den unendlichen Mengen. Wenn Du also eine Möglichkeit findest, jedem Punkt der Geraden genau einen Kreispunkt zuzuordnen (und umgekehrt!), dann könnte man beide Mengen als gleichgroß ("gleichmächtig") ansehen.
Auf diesem Gebiet der Mathematik gibt es viele schöne und überraschenden Ergebnisse, von denen Dir die Fachleute hier besser berichten können. F. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 15:44: |
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Ich bin zwar kein Fachmann, aber ich habe mal von einer Möglichkeit gehört, jedem Punkt auf der Kreislinie k einen Punkt auf der Gerade g zuzuordnen. Ich würde das gerne hier demonstrieren, habe aber keine Ahnung, wie man eine Zeichnung reinkriegt...
Es funktioniert jedenfalls so, dass wir die Gerade g so verschieben, bis sie eine Tangente des Kreises k wird. Nennen wir den Berührpunkt mal B. Dann nennen wir den Punkt direkt auf der anderen Seite der Kreislinie A. Wenn wir nun einem beliebigen Punkt P auf k einen Bildpunkt auf der Geraden g zuordnen wollen, so nehmen wir die Gerade von A zu P und überprüfen, wo diese Gerade g schneidet. Dieser Schnittpunkt ist dann P', also der Bildpunkt P.
So lässt sich jeder Punkt auf k abbilden auf einen Punkt auf g. Wenn wir nun einem Punkt Q auf g einen Punkt Q' auf k zuornen wollen, so geht dies genau so.:Man sucht sich ausgehend von A die Gerade, die durch Q geht und untersucht, wo diese Gerade k schneidet.
Wenn jemand weiß, wie das mit den Zeichnungen funktioniert, kann er/sie mir das ja mal verraten.
Ciao
Cosine |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 18:12: |
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Wenn man einen Punkt definieren könnte, wie groß er ist, dann müßte die Gerade mehr Punkte haben, als der Kreis, da der Kreis endlich ist, und dem zufolge eine begrenzte Zahl von Punkten hat!
Eine Gerade ist aber unendlich, sie hört nie auf, auch wenn wir das auf einem Blatt Papier nicht verdeutlichen können. Demzufolge hat also die Gerade mehr Punkte, als der Kreis! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 18:17: |
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Hallo Bianca,
Noch etwas zum Nachdenken:
Eine Strecke von 1 Millimeter Länge hat genau so viele Punkte wie eine Strecke von 1000 km Länge.
Oder doch nicht?
Zwischen zwei Punkten liegen immer unendlich viele andere Punkte.
Kein Punkt hat einen Nachbarpunkt (denn es liegen ja immer andere dazwischen). |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 18:23: |
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Hallo Anonym,
lies dir den Beweis von Cosine doch mal genau durch!
Wenn jeder Punkt auf dem Kreis genau einem Punkt auf der Geraden entspricht, so kann der Kreis nicht weniger Punkte haben.
(Auch nicht wenn sein Durchmesser nur 0,1 Millimeter ist und die Gerade unendlich lange ist). |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 20:08: |
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Die Gerade hat auch dann genau so viele Punkte wie der Kreis, wenn der Kreis ausgefüllt ist. Nämlich 2 hoch Aleph0 viele. (Aleph = erster Buchstabe des hebräischen Alphabets.) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 22:23: |
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Hmmm... Ist ja nett, dass Ihr alle meiner Meinung seid, aber mir ist gerade ein Fehler in meinem Beweis aufgefallen... Und zwar: Was ist der Bildpunkt von A???
Weiß jemand eine Antwort darauf?
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 23:56: |
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Hi Cosine, du hast also den Kreis K ohne A bijektiv auf die Gerade abgebildet, und es fehlt noch das Bild von A. Diese Abbildung nenne ich mal f. Wir nehmen jetzt oBdA ("ohne Beschränkung der Allgemeinheit" - eine beliebte Floskel) an, dass die Gerade die x-Aches ist, also die Abbildung vom Kreis K nach R geht. Definiere jetzt
g(A) = 0,
g(f-1(0)) = 1,
g(f-1(1)) = 2,
g(f-1(2)) = 3,
...
und g(x) = f(x) für x nicht aus f[IN].
g ist eine Bijektion von K auf die Gerade.
PS: Du kannst den Kreis nicht bijektiv und stetig auf die Gerade abbilden. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 08:36: |
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Danke, Zaph! So müsste es tatsächlich funktionieren. Wie funktioniert den eine Abbildung von einer Gerade auf eine Kreisfläche oder ist das zu kompliziert? Das kann ich mir nämlich nur sehr schwer vorstellen...
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 19:23: |
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Hi Cosine!
Hier ist eine surjektive Abbildung vom Intervall [0,1] auf das Quadrat [0,1] x [0,1] = {(x;y) | 0 <= x,y <= 1}.
Setze f(1) := (1,1).
Für 0 <= x < 1 definiere f wie im folgenden Beispiel:
f(0,14159265...) = (0,1196... ; 0,4525...).
Hoffe, es ist klar, wie die Definition von f gemeint ist. Ist auch klar, wieso die Funktion surjektiv, aber nicht bijektiv ist?
Um eine bijektive Funktion von [0,1] auf [0,1] x [0,1] zu erhalten, benutzt man folgenden (überhaupt nicht trivialen) Satz:
Theorem. Wenn es surjektive Abbildungen A -> B und B -> A gibt, dann gibt es eine Bijektion A -> B.
Und wie man eine surjektive Funktion von [0,1] x [0,1] auf [0,1] erhält, ist hoffentlich klar.
Jetzt braucht man noch eine Bijektion von einer Geraden auf [0,1] und eine von einer Kreisfläche auf [0,1] x [0,1]. Das es letzteres gibt, ist etwas eklig aufzuschreiben, ist aber glaube ich plausibel. Die Hintereinanderschaltung der drei Bijektionen liefert eine Bijektion von einer Geraden auf eine Kreisfläche. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 19:54: |
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Hallo Leute!
Ich weiß zwar nicht, was Bijektion und Surjektion ist, aber ich weiß jetzt, daß unser Lehrer auf die Geschichte mit den Geraden von dem Kreis und der Zuordnung zu der Geraden und so hinauswollte. Ich bezweifle aber, daß außer mir irgendwas von dem verstanden hatte, was er versucht hat, uns zu erklären. Aber da ich ja vorgewarnt war, konnte ich ihm einigermaßen folgen. Ich war dann nicht so gemein und habe ihn gefragt, was der Bildpunkt von A ist. Erstens hieß der Punkt bei ihm nicht A und zweitens hat es mich so sehr dann auch doch nicht interessiert.
Also nochmal vielen Dank!
Ich werde mich bei weiteren Problemen wieder an Euch wenden! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 20:27: |
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Hi Zaph!
Du hast gefragt: "Ist auch klar, wieso die Funktion surjektiv, aber nicht bijektiv ist?"
Antwort: Nein.
So wie ich das bis jetzt sehe, müsste die angegebene Funktion, bei der man immer abwechselnd eine Ziffer an die x- und die andere in die y-Koordinate verteilt, doch schon ausreichen. Denn man kann jeder reelen Zahl zwischen 0 und 1 einen Punkt aus dem Quadrat zuordnen und umgekehrt, indem man eben immer abwechselnd eine Ziffer der x-Koordinate und eine der y-Koordinate nimmt. Warum also überhaupt der Umweg über diesen (überhaupt nicht trivialen) Satz, wenn man einfach nur zeigen will, dass diese Strecke genau so viele Punkte wie das Quadrat hat?
Vielleicht sitze ich auch im Moment auf dem Schlauch.
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:04: |
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Hallo Bianca und Cosine!
Bianca, tut mir leid, dass wir hier manchmal etwas von der ursprünglichen Aufgabe abschweifen. Aber es freut mich, das du trotzdem etwas profitieren konntest. Übrigens:
Surjektiv heißt: Jeder Bildpunkt wird als Funktionswert angenommen.
Bijektiv heißt: Jeder Bildpunkt wird als Funktionswert genau einmal angenommen.
Cosine, die Periode 9 macht die Injektivität kaputt. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 18:30: |
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Anonym III,
Folgende laienhafte Gedankenspielerei.
Eine Gerade hat keinen Anfangspunkt und Endpunkt
und ist damit unendlich.
Ein Kreis hat eine vom Umfang begrenzte Fläche.
Aber:
Die Fläche eines Kreises kann man sich ebenfalls unendlich "Groß" oder unendlich "Klein" vorstellen.
Bleibt also immernoch die Frage offen!:
Ob nun die Gerade mehr Punkte hat, oder der Kreis
oder beide gleich viele ???
Und fasst man Flächen, Linien, Strecken, Geraden,
Körper als eine Ansammlung von Punkten ...... auf. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2000 - 22:28: |
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Hallo Anonym!
So ganz ist mir nicht klar, was Du mit Deiner Gedankenspielerei aussagen wolltest.
"Eine Gerade hat keinen Anfangspunkt und Endpunkt
und ist damit unendlich." Das stimmt.
"Ein Kreis hat eine vom Umfang begrenzte Fläche." auch richtig!
Aber: "Die Fläche eines Kreises kann man sich ebenfalls unendlich "Groß" oder unendlich "Klein" vorstellen. "
Den Satz verstehe ich nicht! Die Fläche eines Kreises ist eindeutig definiert; Ein Kreis mit dem Radius 1cm hat immer eine Fläche von pi cm^2. Die kann man sich nicht größer oder kleiner vorstellen...
Trotzdem hat ein Kreis mit dem Radius 1mm immer noch unendlich viele Punkte.
Bei Deiner Überlegung hast Du drei völlig unterschiedliche Sachen durcheinander geworfen, und zwar 1. die Länge, 2. die Fläche und 3. die Anzahl der Punkte
Man kann aus einer endlichen Länge oder Fläche oder Volumen nicht auf eine endliche Anzahl von Punkten schließen! Es gibt sogar Figuren mit Länge 0, die aus unendlich vielen Punkten bestehen. (Cantor-Menge)
Die Frage, die Du noch offen lässt, wurde meines Wissens nach weiter oben beantwortet: Gerade und Kreis haben beide unendlich viele Punkte, aber trotzdem exakt gleich viele. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2000 - 22:38: |
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Achja, Zaph: Danke für den Beweis, dass ein Quadrat genausoviele Punkte wie ein Quadrat hat. Ich glaube, ich habe ihn jetzt verstanden. (unter der Voraussetzung, dass dieser verwendete Satz korrekt ist)
Danke und Ciao
Cosine |
martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 16:22: |
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Jajajajajajqjajajajaja ... so ist das. Kann mir jemand sagen was das soll?
Wenn a=k-5:x hoch 4,2947 ist, kann 4,99283 im Quadrat zu der Wurzel von 945,305898930 unmöglich x-d>l+0<4 sein, oder? |
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 17:27: |
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Also wie war das nocheinmal?
¥=¥+¥=¥*¥<2¥
Eine gerade ist unendlich lang, hat also ¥*¥ Punkte. Der Umfang eines Kreises hat ¥ Punkte, und der Flächeninhalt des Kreises ¥*¥ Punkte, sie besitzen also alle gleich viele Punkte.
Viele Grüße,
Martin
P.S.: Bitte verzeiht mir, wenn das unmathematisch klingt, aber unter jahrelanger Praxis habe ich gesehen, dass diese Formel immer (?) stimmt. Wer ein Gegenbeispiel hat, möge sich bitte melden. |
Hä
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 20:38: |
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"Wenn a=k-5:x hoch 4,2947 ist, kann 4,99283 im Quadrat zu der Wurzel von 945,305898930 unmöglich x-d>l+0<4 sein, oder?"
Was willst Du damit sagen ???? |
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