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Sonja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 17:39: | 
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Unsere Tochter schreibt morgen eine Mathearbeit und wir üben schon fleißig. Nur eines bereitet uns Probleme. Und zwar so eine Aufgabe wie "Konstruiere mit Zirkel und Lineal einen Winkel von 60°" oder
"Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit c= 6 cm und Alpha= 90°, bei dem Alpha doppelt so groß ist als Beta".
Kann uns jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schonmal
Sonja |
STERNENFUCHS
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 19:02: |
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Zu 60°
man zeichnet eine Linie mit x cm Länge (von A nach B). Danach mit dem Zirkel eine Streckensymmetrale, dadurch erhält man eine Linie die im rechten Winkel zur ersten steht. Nun schlägt man mit dem Zirkel die Länge x von A aus auf die zweite Linie ® C. Dann verbindet man A mit C, zwischen den Linien AB und AC ist ein Winkel von 60°
zum Dreieck:
Strecke zeichnenen die 2*c lang ist, also 12cm. Irgendeinen Endpunkt als C bestimmen, dann mit dieser Strecke eine Streckensymmetrale, dadurch erhält man Punkt A und eine Strecke die mit 90° auf c. Jetzt braucht man nur noch denn Punkt B konstruieren wie folgt:
Da Alpha=90 und Beta=Alpha/2=45 erkennt man das es sich hierbei um ein gleischenkeliges Dreieck handelt: c = b
also muss man nur die Strecke c mit dem Zirkel oder Linial von B aus, auf der Strecke normal auf c, auftragen ® Punkt B. Nur noch B mit C Verbinden und schon hat man das Dreieck ABC |
Sonja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 19:50: |
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hallo sternenfuchs, hab vielen dank für die ausführliche antwort. jetzt will ich mal sehen, dass wir beide das hinkriegen.
schönen abend noch!
sonja |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 21:54: |
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a) Innenwinkel gleichseitiger Dreiecke 60°. Strecke a = AB abtragen, um A und B Kreis mit Radius a, gibt den dritten Punkt C des Dreiecks.
b) Gefordert Beta=45° (=90°/2); AB=c zeichen, Senkrechte auf A und darauf nochmal c abtragen -> Punkt C.
PS: Was verbirgt sich hinter dem schönen Wort Symmetrale? |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 22:50: |
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Die Aufgabe ist unlösbar. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 07:26: |
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Welche und warum? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 11:18: |
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Die Vorschrift: "Mit Zirkel und Lineal" besagt:
Das Lineal darf nur dazu benützt werden, um ein Segment zwischen 2 Punkten zu zeichnen oder um eine Gerade durch 2 Punkte zu legen.
Der Zirkel kann nur Kreise oder Kreisbögen um einen Punkt ziehen.
Wie kann man damit 6 cm abmessen? |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 11:28: |
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Gut, dann ändern wir die Vorschrift: Auf dem Lineal ist eine Längeneinheit angebracht.
Angesichts der tatsächlichen Schwierigkeiten bei Schülern (Bleistift / Lineal / Dreieck / Winkelmesser / Zirkel anfassen oder benutzen, Senkrechte / Parallele / Kreise wasweißich zeichen) würde ich diese Frage nicht so streng sehen. Wenn mit einer Einheit operiert wird, so gehe ich davon aus, daß sie stillschweigend auch zur Verfügung steht. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 15:43: |
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Wie konstruiere ich ein Dreieck? |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 18:02: |
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Was ist davon bekannt? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 18:50: |
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Bei folgender Aufgabe habe ich Probleme: Konstruiere ein Dreieck aus a=9,8 cm; gamma= 39°;und rho= 2 cm, Bitte um Antwort |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 19:51: |
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Hi Anonym,
was bedeutet rh0?
Und zu Franz:
Sag mal Franz, bist du ein Lehrer an einer Schule?
Gruß
Niels |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 19:59: |
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Hallo Niels, rho klingt nach Inkreisradius. Ansonsten: Gottseidank nein, wenngleich mir diese Probleme nicht ganz unbekannt sind. Gruß F. |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 22:38: |
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Konstruktion (a Gamma Rho): Spitze C und Schenkel des Winkels Gamma Sa, Sb zeichnen; seine Winkelhalbierende W(Gamma). Eine Parallele zu Sb im Abstand Rho innerhalb des Winkels Gamma, die W(Gamma) im Punkt M schneidet. M Inkreismittelpunkt. a=CB abtragen, Tangente BA an den Inkreis. Fertig. |
Rene
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 06:37: |
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Vielen Dank franz !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mein Mathelehrer wird sich wundern!!!!!!!!!!!!!!!Gruß Rene b.z.w anonym |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 08:16: |
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Hallo Rene, hast Du die Konstruktion auch selber ausgeführt und verstanden? Daß zum Beispiel der Inkreismittelpunkt auf der Winkelhalbierenden liegt? Der Lehrer mag sich wundern; wenn er gut ist, dann hat er noch eine leicht abgewandelte Frage im Ärmel ... Machs' gut, Franz |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 20:32: |
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Wie lautet der Konstruktionstext der Aufgabe:
Konstruiere ein Dreieck ABC mit Gamma=90°,die Länge der Strecke AB=6cm und b=4,5cm????????????
Bitte helft mir! ich schreibe morgen eine Mathearbeit. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 20:34: |
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Bitte schreibt wenn irgendwie möglich jetzt gleich zurück, morgen ist es schon zu spät!!!!!!!!!!!!!!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 21:45: |
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Satz des Thales:
1. Zeichne die Strecke AB = c = 6cm. Die Strecke c liegt dem Winkel gamma=90° gegenüber.
2. Schlage einen einen Kreis um den Mittelpunkt von c mit dem Radius c/2 = 3cm
3. schlage einen Kreis um A mit dem Radius 4,5cm
4. der Punkt C ist der Schnittpunkt der beiden Kreise
5. Verbinde C und B zur Strecke a
Durch den Satz des Thales ergibt sich automatisch ein rechter Winkel zwischen den Strecken a und b
Viel Glück für morgen |
Heineken
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 16:21: |
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Hallo, ich hoffe mir kann jemand helfen, ich bin am Verzweifeln.
Gegeben ist A(10/6); B(16/10); C(10/10)
D(2/2); E(8/6); F(2/6)
Diese beiden Dreiecke wurden mittels Doppelspiegelung an den Achsen g und h gespigelt. Aufgabe ist es jetzt g und h zu konstruieren!
Ich habe es probiert meinem Sohn zu erklaeren und bin gnadenlos gescheitert. Bitte um Hilfe!!
Ich danke Euch schon mal im vorraus!!!! |
Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 20:57: |
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Prost, Heineken...
Hier erstmal ein Bild:
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Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:04: |
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So, (ich bin immer wieder erstaunt, daß das mit den Bildchen so gut klappt), und jetzt noch die Erklärung.
1. Spiegelachse senkrecht zu EB durch den Mittelpunkt der Strecke EB.
Nach dieser Spiegelung liegt B' genau auf E.
Man konstruiere die Punkte A' und C'.
2. Spiegelachse durch die Mittelpunkte der Strecken A'D und C'F. Das gespiegelte Dreieck kommt auf ABC zu liegen.
Interessanterweise sind beide Spiegelachsen sogar parallel.
Gruß,
Zorro |
Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:06: |
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ups, natürlich kommt das gespiegelte Dreieck auf DEF zu liegen. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:07: |
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Hallo Zorro, gibt es andre Achsenpaare? F. |
Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:29: |
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Hi Franz,
so auf die Schnelle kann ich schon mal bestätigen, daß man auch mit einem anderen Punkt des Dreiecks anfangen kann.
z.B. Zuerst C auf F spiegeln ...
Gruß,
Zorro |
Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:45: |
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... und nachdem doch ziemlich augenfällig ist, daß in beiden Bilder die Spielachsen parallel sind, habe ich sogar herausgefunden, daß es beliebig viele Lösungsmöglichkeiten für diese Aufgabe gibt.
Man kann die erste Spiegelachse beliebig wählen, sie muß nur senkrecht zu FC, EB, bzw. DA liegen.
Die zweite Spiegelachse ergibt sich dann jeweils aus den Mittelpunkten der Strecken FC', EB' und DA'.
Gruß,
Zorro |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 07:29: |
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Danke Zorro, für die erschöpfende geometrische Lösung. Ich vermute, daß sich diese Vielfalt auch analytisch erklären läßt; Anzahl der Transformationsgleichungen / Zahl der Unbekannten vielleicht ...? Franz |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 07:59: |
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Wie konstruiert man ein dreieck, wenn die folgenden Daten gegeben sind?
alpha = 60 Grad, Seitenhalbierende zu a und Seitenhalbierende zu c? |
Guido
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 23:20: |
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Mit Hilfsmitteln bis Klasse 7 kannst Du das nicht exakt konstruieren. Male zuerst den Winkel a und dann nähere mit den beiden Seitenhalbierenden an. Das ist aber keine befriedigende Lösung.
Oder welche Klasse bist Du? |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 23:20: |
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Ebenfalls interessiert. Euler, Feuerbach, Hilfsparallelogramm oder -dreieck?? F. |
Karli
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 07:44: |
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c:  hack.gif |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 01:24: |
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Nicht lösbar, F. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 21:20: |
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Für dich nicht lösbar, nicht eindeutig lösbar oder prinzipiell nicht lösbar? Z. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 19:02: |
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Oder: "Von Zaph nicht lösbar"? ;-)
Im Ernst: Ich meine doch, daß Du über den Begriff "Lösbarkeit" von Konstruktions-Aufgaben schon nachgedacht hast. Und von da zur "Nicht-Lösbarkeit" ist es ein kleiner Schritt. Oder? Franz |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juli, 2000 - 18:05: |
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Hi Franz, mit "von Zaph nicht lösbar" hast du im Moment noch Recht. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass ich nunmehr beweisen kann, dass das Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Allein die Konstruktion fehlt.
Da ich nicht ausschließen möchte, dass ich mich bei meinen Überlegungen vertan habe, diese Überlegungen auch nicht in zwei Zeilen zu formulieren sind, bitte ich um dein Argument, warum das Dreieck nicht konstruierbar sein soll.
Wenn das stichhaltig ist, ist in meiner Argumentationskette der Wurm drin.
Gespannt: Z. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 09:30: |
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Hallo Zaph, ich würde mich sehr freuen, wenn Du eine Lösung findest! Den Hinweis, daß es nicht geht, erhielt ich von jemanden, der diesbezüglich wesentlich kompetenter ist als ich. Aber das kann durchaus ein Mißverständnis o.ä. sein. Freundlichen Gruß, Franz. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 11:53: |
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Na denn. Ich muss etwas ausholen. Man kann zeigen, und ich werde mich hüten dies en detail hier vorzuführen, dass mit zwei Strecken der Längen A und B auch die Strecken mit den Längen
I) A + B
II) A - B
III) A * B
IV) A / B
V) n * A für jede natürliche Zahl n
VI) A / n für jede natürliche Zahl n
VII) Wurzel(A)
mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Man startet mit einigen Grundstrecken, hier mit den beiden Seitenhalbierenden sa und sc, und kann daraus alles, was sich mit Hilfe der Operationen I bis VII herleiten lässt, konstruieren.
Kleiner Exkurs:
Andersrum kann man zeigen, dass Größen, die sich nicht mit Hilfe der Operationen I bis VII herleiten lassen, auch nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind.
Es ist jetzt eine Aufgabe der Algebra zu beweisen, dass z.B. Pi * a oder DritteWurzel(2) * a nicht mit Hilfe der Operationen I bis VII aus a herleitbar sind. Und schon hat man die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises oder der Verdoppelung des Würfels bewiesen.
Zurück zur Aufgabe.
Alles ist jetzt eine Frage, ob man die Dreieckslängen aus sa und sb berechnen kann, und ob die Operationen I bis VII dafür ausreichen.
Zeichne ein Koordinatensystem. Der Ursprung sei der Punkt A. B liege auf der positiven x-Achse. Trage im ersten Quadranten einen Strahl im Ursprung ab, der mit der x-Achse einen Winkel von 60° beschrebt. (Konstruierbar!) Auf diesem Strahl liegt C = (p,q).
Der Schwerpunkt S habe die Koordinaten (r,s). Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhätnis 2:1 teilt, folgt nach Pytagoras
1) r² + s² = (2*sa/3)²,
2) (r - p)² + (s - q)² = (2*sc/3)².
Außerdem
3) s = q/3.
Da C auf der 60°-Gerade liegt, ferner
4) q = W(3)*p.
Zur Abkürzung sei
M = (2*sa/3)²,
N = (2*sc/3)².
Gl. 3 und 4 in 1 und 2 einsetzen liefert
5) r² + 1/3 * p² = M,
6) (r - p)² + 4/3 * p² = N.
Gl. 6 von sieben mal Gl. 5 abziehen:
7) 6*r² + 2*r*p = 7*M - N.
t = r² substituieren, Gl. 7 umsortieren und quadrieren:
8) 4*t*p² = (7*M - N - 6*t)².
Hier Gleichung 5 (p² = 3*(M - t)) einsetzen:
9) 12*t*(M - t) = (7*M - N - 6*t)².
Voilà, eine quadratische Gleichung in t! Mit den bekannten Formeln erhält man
t = ...
"..." steht für einen Ausdruck, der nur die Operationen I ... VII verwendet. Daraus
r = W(t)
und alles andere.
Im Prinzip liefern die Formel für die Seitenlängen auch eine Konstruktionsvorschrift. Der Beweis, dass das Dreieck konstruierbar ist, ist also im wahrsten Sinne des Wortes konstruktiv. Allerdings ist diese Konstruktion dermaßen kompliziert, dass ich sie nicht als Lösung für die Aufgabe akzeptiere :-( |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 18:32: |
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Für den bewundernswerten Konstruktions-Beweis bedanke ich mich herzlich, Zaph! Damit entfällt die mentale Sperre und es darf wieder über Seitenhalbierende nachgedacht werden; also eine erste Skizze eines Versuchs:
Vorweg würde ich die, meines Erachtens überflüssige, Einschränkung 60° fallenlassen.
Durch sc sind gegeben: C, S(chwerpunkt) und D (Mitte AB).
A liegt 1. auf Kreis um S mit Radius 2/3 sa und 2. auf dem Kreis über CD, der alpha faßt. (alpha als Peripheriewinkel über der Sehne CD: Mittelsenkrechte über CD, Winkel 90°-alpha/2 in D abtragen, Schnittpunkt P und zu C/D/P den gesuchten Kreismittelpunkt.)
B liegt 1. auf der Geraden AD und 2. dem Kreis um D mit Radius=AD.
Es fehlt die Untersuchung der Lösungsvielfalt.
Um Überprüfung wird gebeten. F. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 18:41: |
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Super, Franz! Ich hatte die ganze Zeit versucht, mit alpha anzufangen. Und du hast Recht, alpha = 60° ist eine überflüssige Einschränkung für die Aufgabe. Kleine Korrektur: In D muss der Winkel 90° - alpha (und nicht 90° - alpha/2) abgetragen werden. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 21:54: |
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Hallo, Zaph!
Bezüglich des Winkels bei D könnte ein Mißverständnis vorliegen. Bei dieser Nebenkonstruktion war derjenige Kreis mit CD als Sehne zu finden, der den Peripheriewinkel alpha über CD führt. Dazu wurde ein Peripheriepunkt P gesucht als Schnitt der Mittelsenkrechten von CD und des Winkelschenkels CDP=90°-alpha/2. In dem gleichschenkligen Dreieck CDP ist Winkel DPC = 180° - 2*(90°-alpha/2) = alpha; wie gefordert. (Dieses Hilfsdreieck hat mit dem späteren Punkt ja direkt noch nichts zu tun, erst über den Umkreis.)
Hier liegt möglicherweise der Sinn von alpha=60°: Das Hilfsdreieck wird gleichseitig.
Eigentlich müßte man noch die Vielfalt der Lösungen (Schnittpunkte) untersuchen hinsichtlich der gegebenen Stücke. Keine Lust. F. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 23:02: |
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Ach so! Wenn du aber 90° - alpha abträgst, hast du sofort den Mittelpunkt des gesuchten Kreises. Oder? Ob und für welche Werte alpha, sa und sc es eine, keine odere mehrere Lösungen gibt, ... auch kein Bock. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 00:18: |
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Zentriwinkel... Ich befürchte, daß wir uns den diesjährigen Nobelpreis für Mathematik teilen müssen. Hart, aber gerecht. :-))
Mit vorzüglichen Grüßen, Franz. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 20:08: |
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Der Nobelpreis wird's wohl nicht, aber vielleicht reicht es für den RTL-II-Mathematikförderpreis ;-)
Mit exzellenter Hochachtung, Zaph. |
Sophie87
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 16:51: |
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Kann mir bitte jemand helfen!!!!!!!!!!
Ich such jemanden der mir die Drehung und Verschiebung erklärt!!!!!!!!
Ich kapiers einfach nich.
Ich hoffe von euch kapierts einer!
Danke schon im Voraus.
Sophie |
Yasmin (Ami)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 18:34: |
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Die Drehung:
Eine drehsymetrische Figur kommt mit ihrem Bild zur Deckung, wenn sie um ihren Mittelpunkt und um einen passenden Winkel zwischen 0° und 360° gedreht wird. Solche Winkel heißen Symmetriewinkel!!!
Wenn du noch fragen hast frag mich doch einfach!!! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 22:55: |
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Hi Zaph!
Auch wenn Dein Beitrag zu der Zirkel-Und-Lineal-Geschichte schon etwas zurückliegt, ich bin ebengerade erst darauf gestoßen.
Du sagst, wenn die Längen A und B vorliegen, dann lässt sich daraus mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der Länge
III) A * B
IV) A / B
konstruieren.
Beispiel: A = 2cm ; B=3cm
Dann könnte man damit ja eine Strecke von 6cm² konstruieren?!? Wie soll ich mir das vorstellen???
(Ich habe mir schon überlegt, dass man mit drei gegebenen Längen A,B und C die Länge A*B/C konstruieren kann, d.h. wenn man eine Strecke C=1 vorgegeben hat, dann kann man auch A*B konstruieren, aber dazu müsste man doch eine "Einheitsstrecke" C gegebenhaben oder denke ich mal wieder zu kompliziert (oder zu einfach)...???
Da fällt mir ein: Das selbe Problem müsste sich bei
VII) Wurzel(A)
ergeben, oder nicht?
Wenn es eine Möglichkeit gibt, wie man nur aus einer beliebigen Strecke A eine Strecke der Länge Wurzel(A) konstruieren kann, was erhält man dann bei einer Strecke von 1 Meter? 1 Wurzelmeter?
In der Hoffnung, dass sich mein Verständnisproblem irgendwann auflösen wird,
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 16:14: |
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Hi Cosine, in der Tat legt man irgendeine Strecke fest und nennt die Länge "1". Eine Einheit hat diese Strecke nicht. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:00: |
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Hi Zaph!
Danke für die Antwort - Ich bin aber trotzdem noch etwas verwirrt: Wenn ich nun ein Blatt habe, auf dem eine Strecke mit der Länge Pi eingezeichnet ist und sonst nichts (also keine Strecke mit Länge 1), ist es dann möglich mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit Länge Pi^2 zu konstruieren oder nicht?
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 11:41: |
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Hi Cosine,
das ist wohl nicht möglich. Irgendwie muss in die Konstruktion ja eingehen, dass die Strecke Pi cm lang, und nicht vieleicht ein kurdischer Inch ist.
Im zweiten Fall wäre das Quadrat nämlich gleich der Ausgangslänge. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 22:59: |
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Hi Zaph!
Dankeschön. Ich glaube, ich hab's begriffen.
Ciao
Cosine |
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