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Dominik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 15:50: | 
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Helft mir bitte bei einem "Beweis".
(Beweis Basiswinkelsatz)
Es sei ABC ein Dreieck mit /AC/ = /BC/.
Zeige, dass dann die Winkel bei A und B gleich groß sind.
Ich kenne die Kongruenzsätze sss, sws, wsw und ssw, aber die konnte ich hier nicht anwenden.
Wer weiß, wie man anfangen muss? |
Allmut
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 17:48: |
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Lieber Dominik,
die Mittelsenkrechte (mit Punkt D auf c) auf c ist Symmetrieachse. Die Dreiecke ADC und DBC sind symmetrisch und daher ihre entsprechenden Stücke gleich.
Gruß A. |
Dominik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 18:59: |
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Liebe Frau Plassmann, ich weiß nicht, wo das mit der Symmetrieachse herkommt, und wie ich das genau schreiben soll.
Gruß Dominik |
Dominik Laukötter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 12:22: |
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Bitte, wer kann mir helfen?
Ich brauche jeden einzelnen Schritt für den Beweis.
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A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 08:31: |
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Hallo Dominik
was hälst du von dieser Version
Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit Strecke AC=Strecke BC.
Dann ist AB die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
Bezeichnen wir die Winkel wie folgt:
Winkel bei C sei g
Winkel bei A sei a und
Winkel bei B sei b
Sei ferner h=CD die Höhe auf AB (D ist der Höhenfüßpunkt auf AB).
Für die Höhe auf der Basis AB eines gleichschenkligen Dreiecks gilt:
Höhe CD = Winkelhalbierende des Winkels bei C = Mittelsenkrechte zu AB
Die Höhe h unterteilt damit das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke ADC und BCD, wobei die rechten Winkel jeweils bei D liegen.
Da h gleichzeitig Winkelhalbierende von g ist, sind die Winkel in den Dreiecken ADC und BCD bei C gleich groß, nämlich g/2
Damit stimmen die Dreiecke in einer Seite (h) und den 2 Winkeln überein (rechter Winkel und g/2).
Mit der Winkelsumme im Dreieck gilt nun
im Dreieck ADC:
a+g/2+90°=180°
<=> a=90°-g/2
Im Dreieck BCD gilt entsprechend:
b=90°-g/2
Insgesamt also a=b
Mfg K. |
Alfred Kubik (fredy)
Neues Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 08:37: |
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Hallo Dominik,
die Mittelsenkrechte der Seite c eines gleichschenkeligen Dreiecks geht durch den Punkt C. Dadurch wird die Mittelsenkrechte gleichzeitig auch Symmetrieachse des Dreiecks. Beide durch die Mittelsenkrechte gebildeten Teildreiecke sind daher deckungsgleich und haben alle Winkel und alle Seitenlängen gemeinsam und natürlich auch die gleiche Fläche.
Daher ist: alpha=beta, AC=BC und die Basis jedes der beiden Teildreiecke ist c/2.
Die Mittelsenkrechte der Seite c ist im gleichschenkeligen Dreieck zugleich auch die Höhe auf c, die Seitenhalbierende und die Winkelsymmetrale von gamma.
Ich glaube, das sollte nun für den Beweis reichen.
Liebe Grüße,
Fredy. |
Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 11:16: |
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Hallo ihr,
ich möchte nicht aufdringlich werden, aber ich weiß immer noch nicht, warum das gilt:
"Für die Höhe auf der Basis AB eines gleichschenkligen Dreiecks gilt:
Höhe CD = Winkelhalbierende des Winkels bei C = Mittelsenkrechte zu AB"
und
"die Mittelsenkrechte der Seite c eines gleichschenkeligen Dreiecks geht durch den Punkt C"
Lieb von euch, dass ihr mir helfen wollt, aber ich brauch wirklich jeden Schritt ohne Lücke.
Mit freundlichen Grüßen
Dominik Laukötter |
Alfred Kubik (fredy)
Neues Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 17:32: |
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Hallo Dominik,
bitte wo ist jetzt die Lücke? Bist du in einer Schulstufe über 10?
Gruß,
fredy. |
Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 18:04: |
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Hallo Alfredy,
ich bin schon im achten. Aber das Thema war schon in Klasse 7 dran.
Man kann sich einfach ein Dreieck zeichnen, und man sieht, dass es stimmt. Nur man muss das allgemein beweisen können. Es kann sein, dass man tausend Dreiecke zeichnet und beim 1001. stimmt es nicht mehr.
Deshalb brauche ich einen Beweis, der immer gilt.
Beim Beweis darf es nicht einfach heißen:
"Die Mittelsenkrechte der Seite c eines gleichschenkeligen Dreiecks geht durch den Punkt C"
sondern das muss ich begründen.
Bei irgendeinem Dreieck geht die Mittelsenkrechte ja nicht durch den Punkt gegenüber, nur bei einem gleichschenkligen ist das so.
"Warum ist es bei einem gleichschenkligen so, wenn es bei irgendeinem Dreieck nicht so ist?"
ist erstmal meine Frage.
Dominik
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Alfred Kubik (fredy)
Neues Mitglied
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Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 21:18: |
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Lieber Dominik,
das ist es ja, was du sagst: es ist nicht irgend ein Dreieck, sondern gegeben ist ein gleichschenkeliges Dreieck.
Nimm nun folgendes an:
du zeichnest die Basis c eines Dreieckes und das entspricht der Strecke AB. Wenn du jetzt für die Strecke AB die Mittelsenkrechte konstruierst, erhältst du eine senkrechte Gerade auf AB, die AB halbiert. Nenne diesen Schnittpunkt mit AB nun P. Jeder Punkt C den du auf der Mittelsenkrechten annimmst, hat von A und auch von B den gleichen Abstand und ergibt damit ein gleichschenkeliges Dreieck. Es entstehen daher immer 2 gleichlange Schenkel a. Damit erhältst du, egal wo nun der Punkt C liegt, immer 2 deckungsgleiche, rechtwinkelige Teildreiecke APC und BPC. Und deckungsgleiche Dreiecke haben nun mal alle Seitenlängen und alle Winkel gleich und daher ist alpha=beta und gamma wird in gamma/2 + gamma/2 geteilt. Übrigens ist der Supplementärwinkel von gamma = 2 alpha!
Und daher ist die Mittelsenkrechte auf c (AB) beim gleichschenkeligen Dreieck immer gleichzeitig auch Symmetrieachse.
Meiner Meinung kannst du mit dieser Argumentation auch auf der Uni antreten!
Liebe Grüße,
Fredy. |
Öslan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 08:09: |
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Hallo Allmut,
dass die Mittelsenkrechte Symmetrieachse ist, soll doch erst bewiesen werden! |
Alfred Kubik (fredy)
Junior Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 09:20: |
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Hallo Öslan,
schön, dass du dich zu Wort meldest. Aber warum stellst du nur fest und versuchst nicht mitzuarbeiten?
Grüße,
Fredy. |
Alfred Kubik (fredy)
Junior Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 09:47: |
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Hallo Dominik,
mir ist da noch etwas für deine Beweissuche für das gleichschenkelige Dreieck eingefallen:
Zeichne mal ein gleichschenkeliges Dreieck. Konstruiere den Umkreis, dessen Mittelpunkt so wie alle anderen merkwürdigen Punkte des Dreiecks (Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden - also Schwerpunkt) auf der Euler'schen Geraden liegt, die in diesem Falle auch die Symmetrieachse ist. Beim gleichschenkeligen Dreieck liegt auch der Inkreismittelpunkt auf der Symmetrieachse.
So, zurück zum Umkreis. Du siehst, dass beide Seiten a des Dreiecks Sehnen im Umkreis sind. Diese Sehnen sind gleich lang. Und gleich lange Sehnen haben auch gleich große Peripheriewinkel! Und dieser Peripheriewinkel ist für beide Sehnen (=Seite a)der Winkel alpha und daher ist beim gleichschenkeligen Dreieck alpha = beta!
Kannst du dich mit dieser Beweisführung anfreunden?
Bitte sag' mir doch kurz Bescheid!!
Grüße,
Fredy. |
Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 11:25: |
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Hallo Fredy, vielen Dank für den Beweis.
Ich kann mich damit anfreunden, wenn du mir eine Möglichkeit zeigst, wie man den Peripheriewinkelsatz beweisen kann, Ohne dass man den Basiswinkelsatz dazu verwendet.
Ich kenne den Beweis nur so, dass man vom Basiswinkelsatz ausgeht und dann den Peripheriewinkelsatz beweist.
Der andere Vorschlag von gestern abend ist leider auch nicht das, was ich mir vorgestellt habe, denn da wird ja das gleichschenklige Dreieck erst hergestellt, bei mir ist soll es aber schon gegeben sein.
Vielen Dank für die Mühe
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Dummer Junge
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 11:31: |
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Hallo, vielleicht hilft Satz 2.3.1 auf Seite 6 des PDF-Dokuments
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/InetPub_alt/elemgeo/skript/kap_3_2.PDF
weiter. Dort heißt es:
quote:2.3.1 Basiswinkelsatz. Sei DABC ein Dreieck.
Wenn die Seiten CA und CB kongruent sind, dann sind auch die Winkel ÐA und ÐB kongruent.
Kurz: Ein gleichschenkliges Dreieck hat gleich große Basiswinkel.
Der Beweis ist extrem kurz und sehr trickreich, also aufgepaßt! Wir zeigen mit Hilfe von SWS, daß DACB @ DBCA gilt: Es ist |CA| = |CB|, ÐACB @ ÐBCA und |CB| = |CA|.
Aus der Kongruenz von DACB und DBCA folgt jetzt aber ÐCAB @ ÐCBA, was zu beweisen war.
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Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 11:36: |
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Sowas habe ich gesucht!
Ich verfolge die Schritte in Ruhe nach und melde mich wieder, wenn ich durchgefunden habe!
Dominik
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Orpheus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 11:37: |
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Hallo Dominik,
hier ein etwas seriöserer Beweis:
wir markieren auf der Strecke AB ihren Mittenpunkt M, so dass also
die Längen |AM| und |MB| gleich sind.
Nun verbinden wir den Punkt M mit C und betrachten die beiden Dreiecke:
AMC und BMC.
Diese beiden Dreiecke haben gleich lange Seiten, sie sind also kongruente Dreiecke. (genauer: ungleichsinnig kongruente Dreiecke).
Es gilt somit der Satz:
Kongruente Dreiecke haben gleiche Winkel!
Damit ist
Winkel MCA = Winkel MCB
Winkel AMC = Winkel BMC
Winkel MAC = Winkel MBC qed
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Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 12:02: |
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Das ist es!! nach sss müssen die beiden Dreiecksteile kongruent sein!
Vielen Dank für diese supergute Lösung, Orpheus!!
Die hat mir gefehlt!
ehrlich gesagt: den Beweis "2.3.1 Basiswinkelsatz" kann ich gar nicht verstehen.
Wenn ich das richtig verstanden habe, wird dort davon ausgegangen, dass ein Dreieck zu sich selbst kongruent ist. Darf man das machen?
Warum machen die das nicht auch so wie Orpheus.
Wenn ich richtig verstehe, dann kommt dieser Beweis von einer Uni. Wird das da immer so kompliziert gemacht?
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Alfred Kubik (fredy)
Junior Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 12:42: |
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Hallo Dominik,
kannst du mir nun bitte sagen, was bei meiner Darstellung mit den deckungsgleichen Dreiecken anders war als bei Orpheus?? Deckungsgleich ist ja der selbe Ausdruck wie kongruent.
Zur Erinnerung: "Damit erhältst du, egal wo nun der Punkt C liegt, immer 2 deckungsgleiche, rechtwinkelige Teildreiecke APC und BPC. Und deckungsgleiche Dreiecke haben nun mal alle Seitenlängen und alle Winkel gleich und daher ist alpha=beta und gamma wird in gamma/2 + gamma/2 geteilt. Übrigens ist der Supplementärwinkel von gamma = 2 alpha!"
Vielleicht kannst du diesen Beitrag oben nochmal nachlesen.
Fredy.
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Dominik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 15:23: |
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Lieber Fredy,
Den Beweis von Orpheus habe ich sofort auf mein Dreieck anwenden gekonnt.
Der ist kürzer und das ist das coole daran.
Ich habe das von dir von gestern abend so verstanden, dass man erst nur die Strecke AB hat und dann erst das restliche Dreieck konstruiert.
Bei mir sollte das Dreieck doch schon fertig vorgegeben sein, deshalb habe ich das nicht nachdenken gekonnt.
Ich denke, dass man die Mittelsenkrechte überhaupt nicht konstruieren muss, sieht man ja am Beweis von Orpheus ?
Liebe Grüße,
Dominik. |
Alfred Kubik (fredy)
Junior Mitglied
Benutzername: fredy
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 17:15: |
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Lieber Dominik,
einmal schreibe ich noch, da ich der Meinung bin, dass der Beweis für die Gleichheit der Basiswinkel nicht nur für ein bestimmtes gleichschenkeliges Dreieck gelten darf, sondern für alle gleichschenkeligen Dreiecke zu gelten hat.
Demnach kann es grundsätzlich nur dann ein solches sein, wenn der Punkt C sich auf jenem geometrischen Ort befindet, der den gleichen Abstand von den Basispunkten A und B hat. Und dieser geometrische Ort ist nun mal die Mittelsenkrechte von der Strecke AB. Auf dieser können beliebig viele Punkte C liegen und immer wird das Dreieck gleichschenkelig sein. Weicht C davon ab, ist das Dreieck ein allgemeines.
Bitte, was ist denn das anderes als
.....wir markieren auf der Strecke AB ihren Mittenpunkt M, so dass also
die Längen |AM| und |MB| gleich sind.
Nun verbinden wir den Punkt M mit C.....
Warum sucht denn Orpheus gerade den Mittenpunkt M und nicht einen anderen Punkt auf AB? Das ist ja auch eine Konstruktion.
Das Entscheidende ist nicht das Zeichnen der Mittelsenkrechten, sondern die Betrachtung der beiden Teildreiecke, die bei mir halt APC und BPC heißen, und die Kongruenz der beiden Dreiecke. Und das muss für alle diese Teildreiecke und für alle möglichen Punkte C gelten.
Was machst du, wenn C nur 0,1mm weiter rechts oder links liegt, dann ist das Dreieck schon nicht mehr gleichschenkelig. Du kannst bei der optischen Betrachtung gar nicht mehr erkennen, ob die beiden Teildreiecke kongruent sind oder nicht. Daher brauche ich meiner Meinung auch die Definition des oben beschriebenen geometrischen Ortes für C und für alle Punkte C die möglich sind. Also erst wenn C dort liegt, kann ich denn Schluss der Kongruenz ziehen.
Damit habe ich eigentlich versucht, alle Details zu betrachten.
Wenn jemand diese Betrachtungen widerlegen kann, bin ich gerne bereit, das zu akzeptieren.
Grüße,
Fredy.
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