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Minerva (Minerva)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 18:52: | 
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Hallo,
ich habe eine dringende Frage:
In einem Dreieck treffen sich doch alle Seitenhalbierenden in einem Punkt, dem Schwerpunkt. Dieser teilt wieder alle Seitenhalbierenden im Verhältniss 2:1.
Ist es da dann immer so, dass das längere, also 2/3 der Halbierenden auf der Seite des Winkels, also z.B. auf der Seite von C und der kleinere Teil bei c (Strecke AB)ist? Oder kann das unterschiedlich sein?
Bitte um schnelle Antwort, ist dringend!
Minerva |
Pascal (Prolli)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 20:48: |
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Ja, dies gilt für jedes beliebige Dreieck ! |
Holger
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 14:12: |
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Anschaulich ist es klar, dass der Schwerpunkt weiter von der Spitze entfernt sein muss als von der ggü. liegenden Seite, doch wie kann man das beweisen? |
Pascal (Prolli)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 16:03: |
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Ich denke mit Vektorgeometrie liesse sich das schon machen.
Gruss, Pascal |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 20:08: |
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@Holger: ist Dir bekannt, wie sich die Flächeninhalte zueinander ähnlicher Figuren
zueinander verhalten? - Ein Quadrat mit Seite = a/2 hat nur ein 4tel der Fläche wie eines mit der
Seite a, auch für eine gleichsei.3eck kannst Du das leicht nachrechnen.
Allgemein gilt:
wenn einander entsprechende längen von zueinander ähnlichen Figuren sich wie a : b verhalten
dann
verhalten sich die Flächen wie a²:b² zueinander.
Daher
muss der SP eines 3ecks
UNTERHALB
der Mitte liegen.
Im Folgendem ist
SP Schwerpunkt
G Gewicht, entspricht Fläche
h 3ecksHöhe
Nehmen wir - fälschlicherweise an es seien
SA,SB
die SP der Trapeze TA,TB,
was den
SP von (TA+TB) = STAB sicher zu weit nach oben
legt.
Alle Abstände sind Vielfache von h,
gerechnet von der Spitze aus.
Weil G(TB) = G(TA)/2
liegt STAB bei 1/2 + (2/3)/4 = 2/3
Da G(TA+TB) = 3*G(H)
ist
Gesamt SP = SP(TA+TB+H) = 1/4 + (3/4)(STAB - 1/4)
Gesamt SP = 1/4 + (3/4)(2/3 - 1/4) = 1/4 + (3/4)(5/12)
Gesamt SP = 9/16 > 1/2, 9/16 < 2/3 .
Die "Gewichte" und Abstände gelten natürlich auch
für andere als gleichseitige 3ecke. |
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