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Bujar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 15:29: | 
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Hallo, es geht darum, den Lösungsweg für diese Aufgabe zu optimieren.
Es soll die Summe der Winkel a1 bis a5 berechnet werden, wobei die Figur ein beliebiges (also nicht notwendig ein regelmäßiges) Pentagramm ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob es nicht noch eine einfachere Herleitung als diese hier gibt, so dass sie ein Schüler aus der 7. Klasse auf jeden Fall verstehen kann? - Ich habe mir gedacht, das so zu zeigen:
(siehe Skizze)
Das Pentagramm wird in ein Dreieck BDF und ein Viereck ACEF mit einem überstumpfen Innenwinkel b+g+d bei E zerlegt.
Es gilt der Winkelsummensatz im Dreieck BDF: a3 + a5 + g = 180°
Winkelsummensatz im Viereck ACEF: a2 + a4 + a1 + b+g+d = 360°
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a3 + a5 + g + a2 + a4 + a1 + b + g + d = 180° + 360° ist also die Summe aller Winkel.
b + g = 180°, weil sie ein Nebenwinkelpaar bilden. Ebenso g + d = 180°.
Nimmt man diese Summanden aus der linken Seite der Summe unterm Strich heraus, muss man ihre Summen, also zweimal 180°, rechts ebenfalls weglassen.
Also ergibt sich
a3 + a5 + a2 + a4 + a1 = 180°
als Summe der Winkel an den Spitzen eines beliebigen Pentagramms.
Mich stört an dieser Herleitung, dass die Methode, auf beiden Seiten einer Gleichung gleichzeitig etwas wegzunehmen, eigentlich erst in der 8. Klasse eingeführt wird.
Hat jemand noch eine andere Idee, die Winkelsumme auf einfachere Weise herzuleiten? |
Bujar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 15:34: |
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na jetzt hoffentlich |
Bujar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 15:34: |
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Bujar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 15:38: |
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... der überstumpfe Innenwinkel des Vierecks liegt bei F
:-| heute muss aber auch alles schiefgehen |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 17:08: |
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liebe / lieber bujar ,
du kannst ja auch die auf der linken Seite deiner Gleichung für b + g die 180° einfach einsetzen. und genauso für g + d . Das ganze dann auf der linken Seite zusammenfassen, und auf beiden Seiten 360° abziehen.
Wenn die Schüler einen fehlenden Winkel aus einem Dreieck berechnen müssen, kommen sie ja auch nicht umhin, auf beiden Seiten was abzuziehen, oder zumindest von einer Seite einer Gleichung etwas auf die andere zu bringen , oder lernen die mittlerweile 3 Formeln für die Berechnung verbleibender Winkel in Dreiecken. Etwa so :
1. Formel: a = 180°- b -g
2. Formel: b = 180°- a -g
3. Formel: g = 180°- a -b
mit freundlichem Gruß
Astrid |
Bujar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 19:49: |
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Hallo Astrid, danke für die Antwort,
dass man die Summen b + g und g + d erst durch Zahlen ersetzen sollte, wenn man anschließend diese Zahlen wieder wegnimmt, halte ich eigentlich nicht für nötig.
Ansonsten kann ich keinen Unterschied zu meinem Vorschlag erkennen.
Aber ich denke, du meinst auch, dass der Weg zumutbar ist? - zumal es eine Aufgabe mit "roter" Nummer ist.
Wenn jemand anders doch etwas gegen diesen Weg haben sollte, bitte melden. |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:38: |
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liebe/ lieber Bujar,
Ich hab gestern abend noch mit einer Freundin, die Mathelehrerin ist, über diesen Weg bzw. allgemeiner darüber dass in der 7.Klasse noch keine systematische Umformung von Gleichungen bekannt sind, diskutiert.
Für mich als Nachhilfelehrerin ist es etwas unverständlich, dass das in der Klasse noch nicht gelehrt worden ist, weil ich es für ein grundsätzliches Element der Mathematik halte.
Meine Freundin ihrerseits meinte aber, dass es bei deinem Weg nicht stören würde, weil die Schüler schon die ganze Zeit intuitiv mit dem Lösen von einfachen Gleichungen umgehen würden.
Wir haben uns letztendlich darauf geeinigt ,dass man den Schülern bloß nicht sagen darf, dass es da ein Problem geben könnte. ;-)
Mit freundlichem Gruß
Astrid |
Bujar
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 20:50: |
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Hallo Astrid,
Ich denke, das geht dann so in Ordnung.
Was das Thema Umformung von Gleichungen in der 7. Klasse betrifft:
Ich habe schon Schüler erlebt, die den Satz vom Umfangs-/Mittelpunktswinkel nicht verstanden haben, wenn bei der Herleitung Gleichungen umgeformt wurden.
Es mussten von Anfang an alle Variablen für die Winkel so passend aufgestellt werden, dass nichts von einer Seite auf die andere verschoben werden musste.
Grundsätzlich: klar wäre es besser, wenn das bereits beherrscht würde, nur gibt es auch viele Schüler, die am Ende der 7 noch unsicher sind, z.B. eine negative Zahl zu subtrahieren.
Und das muss sitzen, bevor Gleichungen angegangen werden. Sonst müsste man die negativen Zahlen bereits in Kl. 6 drannehmen und damit dafür Platz wäre, die Bruchzahlen in Klasse 5 verschieben etc.
--> PISA => Lesen und Rechnen bereits im Kindergarten etc.
Schöne Grüße |
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