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Beitrag |
    
Wolfgang Haas (Hwo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 15:58: | 
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Hallo ich bin Doris, bitte helft mir.
Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck, a=10cm b=20cm die Seitenkante c=30cm, In welchem Abstand zur Spitze liegt die zur Grundfläche parallele Ebene, wenn das Volumen der ganzen Pyramide halbiert wird? |
Jürgenliesl
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 18:27: |
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Bist Du Doris oder Wolfgang? |
Wolfgang Haas (Hwo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 11:19: |
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Ich bin natürlich Doris und arbeite mit der
e-mail meines Vaters, also wer kann mir helfen.
Mein Vater und ich, wir stehen ganz schön auf der Seife.
Wie kann man von einem Volumen einer Pyramide die Grundfläche, Seitenkannte und Höhe errechnen, wenn man nur die Angaben einer volumsmäßig doppelt so großen Pyramide hat? |
Allmut
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 15:20: |
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Liebe Doris,
Dein Problem hat mich wirklich beschäftigt. Wenn ich recht verstehe, handelt es sich um einen Pyramidenstumpf. Die Formel dafür lautet
V(Stumpf) = 1/3h (G1 + Wurzel aus(G1*G2) + G2
Bekannt ist das halbe Volumen und wohl auch die alte Höhe.
Wenn ich die Zahlen einsetze, lande ich irgendwann bei 100 = Ö200*G2 + G2
Und nun komme ich nicht weiter.
Vielleicht hilft jemand, der wirklich kompetent ist.
Gruß A. |
K.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 10:09: |
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Hallo Doris
für das Volumen einer Pyramide gilt allgemein:
V=(1/3)*Grundfläche*Höhe=(1/3)*G*h
Die Grundfläche ist hier ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b; also
V=(1/3)*a*b*h
Leider ist h nicht angegeben, sondern die Seitenkante c.
Wie du hoffentlich aus der Zeichnung erkennst kann man h über das blaue Dreieck mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln.
Die Hypothenuse ist c; die Katheten sind h und d/2
(wobei d/2=halbe Diagonale des Rechtecks aus a und b).
Also zunächst d berechnen: d²=a²+b²
=> d²=10²+20²=100+400=500
=> d=Ö500=10Ö5
=> d/2=5Ö5
Im blauen Dreieck gilt nun:
h²=c²-(d/2)²=30²-(5Ö5)²=900-125=775
=> h=Ö775=5Ö31=27,84cm
Das Volumen der gesamten Pyramide beträgt damit:
V=(1/3)*10*20*5Ö31=(1/3)*1000*Ö31=1855,92 cm³
Nun betrachten wir das rote und grüne Dreieck.
Für die parallele Grundfläche habe ich a1 und b1 und für die Höhe von dieser Grundfläche bis zur Spitze habe ich h1 gewählt.
Die kleinere obere Pyramide hat damit das Volumen
V1=(1/3)*a1*b1*h1
Im roten Dreieck gilt mit dem Strahlensatz:
h1/(a1/2)=h/5 => h1=(h/5)*(a1/2)=(h*a1)/10
Im grünen Dreieck gilt entsprechend:
h1/(b1/2)=h/10 => h1=(h/10)*(b1/2)=(h*b1)/20
Beide Ergebnisse gleich setzen:
(h*a1)/10=(h*b1)/20
<=> 20h*a1=10h*b1 |:h
<=> 20a1=10b1 |:10
<=> b1=2a1
Nun setzen wir in obige Volumengleichung diese Werte ein:
V1=(1/3)a1*b1*h1
<=> V1=(1/3)*a1*2a1*h*a1/10
<=> V1=(1/3)*2(a1)³*h/10
Nun noch h ersetzen mit h=27,84
=> V1=(1/3)*2(a1)³*2,784=1,856*(a1)³
Laut Aufgabenstellung soll gelten: V1=(1/2)*V
also
1,856(a1)³=1855,92/2=927,96 |:1,856
<=> (a1)³=450
=> a1=7,9 cm
=> h1=h*a1/10=27,84*7,9/10=22,1cm
Abgesehen von Rundungsfehlern müsste es so stimmen.
Bitte nachrechnen!
Mfg K. |
Allmut
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 13:37: |
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Lieber K.!
Alle Achtung! Und ich habe mich so geplagt. Vielen
Dank, das war auch für mich eine Erleuchtung.
Gruß A. |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 12:19: |
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Hallo Allmut
Danke für das Lob.
Hab allerdings auch sehr lange gebraucht, um Zeichnung und Erklärung auf die Reihe zu bringen.
Nur Schade, dass man so selten Rückmeldungen von denjenigen bekommt, die die Aufgaben gelöst haben möchten.
Daher freue ich mich um so mehr, dass du geantwortet hast.
Mfg K. |
Allmut
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 14:00: |
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Lieber K.,
ich freue mich auch immer, wenn es Antworten gibt, besonders dann, wenn ich jemandem zum Verstehen verholfen habe (mit meinen schwachen Möglichkeiten). Deine Beiträge kann ich immer genießen - weiter so!
Gruß A. |
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