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Amrei Nissen (Amfa)
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 15:24: |
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Hallo Leute! Mein Mathelehrer behauptet, das 0,9999999999usw.=1. Ich dagegen meine, dass Null Komma Periode 9 kleiner ist als 1. Was meint ihr dazu????? Erwarte eure Antwort. Bis bald AmFa |
Allmut
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 15:50: |
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Jaja, die Mathelehrer! Bei dem Bruch 0,999999... handelt es sich um einen periodischen Dezimalbruch, aber auch um eine unendliche geometrische Reihe, oder? 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 ... Addiert man nun unendlich viele Glieder einer geometrischen Reihe und sind die Glieder kleiner als 1, so strebt die Summe einem Grenzwert zu. Der Grenzwert erreicht wohl für Mathematiker die 1. Drum. Oder liege ich ganz falsch? Frag mal Deinen Lehrer. Gruß A. |
Lulu
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 13:48: |
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Das stimmt schon! Vielleicht verstehst du es so: 1/9=0,111111... 2/9=0,222222... 3/9=0,333333... 4/9=0,444444... usw. wenn man diese Reihe logisch fortsetzen wuerde, kaeme raus: 9/9=0,999999... Nun ist aber klar, dass 9/9=1 ist. Daraus folgt: 0,999999...=1 Hast du es verstanden? Ich hoffe schon! |
SKotty
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 16:02: |
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noch ein Lösungsweg: x = 0.9999999... y = 10*x = 9.9999999... = 9 + 0.9999999... y - x = 9 + 0.9999999... - 0.9999999... 10x - x = 9 9x = 9 x = 1 Gruß SKotty |
Allmut
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 23:13: |
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Mathematisch kann ich das sehr gut nachvollziehen, dennoch... Gruß A. |
Thomas
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 07:29: |
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Noch ein Argument: Wenn 1 und 0,999... verschiedene Zahlen wären, müsste es eine Zahl geben, die zwischen beiden liegt. Da kann man aber ziemlich lange suchen. Thomas |
Rudolf (Ruedi)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 19:15: |
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Hallo Die Zahl dazwischen gibt es auch: Bei 0.999 ist es 0.001 Bei 0.99999999 ist es 0.00000001 usw. Trotzdem leuchten die Lösungen von SKotty und Lulu ein. Gruss Rudolf |
Allmut
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 22:38: |
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Lieber Rudolf, die Zahl ist aber 0 Komma Periode 9 (Wie formatiert man das?)! Das ist das Problem. Gruß A. |
Rudolf (Ruedi)
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 19:15: |
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Hallo Allmut Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst. Wenn Du meinst, das man beliebig viele 9er hinter das 0, setzen kann, dann gibt es eine Zahl 0, mit ebenso vielen Stellen minus eine mit Nullen und dahinter 'ne 1. Gruss Rudolf |
Ingo (Ingo)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 22:19: |
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Hallo Rudolf, 1) Ich verstehe nicht ganz was Du mit 0,001 liegt zwischen 1 und 0,999 meinst. Meinst Du vielleicht daß die Differenz 0,001 ist und somit 0,999+(0,001/2) dazwischen liegt ? 2) Der Fehler bei Deiner Überlegung ist,daß Du im Endlichen argumentierst. Es sind aber unendlich viele Neunen, also kannst Du hinten keine Zahl mehr anfügen. |
Rudolf (Ruedi)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 22:33: |
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Hallo Ingo 1) Na ja, Thomas meinte, dass es eine Zahl geben müsse, zwischen 1 und 0.999.., wenn es zwei verschiedene Zahlen sein sollen. Und ich sage, es gibt die Zahl dazwischen. Eben die Differenz zu 1. 0.999 + 0.001 = 1. 0.9999999 + 0.0000001 = 1 usw. 2) Natürlich argumentiere ich mit Endlichem. Mit Unendlichem kann man nicht rechnen. Mir leuchtet die Theorie schon ein, dass 0.999... 1 entspricht, wenn man 1 als Grenzwert ansieht. Aber 0.999... ist eben nicht gleich 1. Es nähert sich nur asymptotisch an 1 heran. Gruss Rudolf |
Thomas
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 07:04: |
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Hallo Rudolf, Gegenargumente: Du sagst "...beliebig viele 9er hinter das 0, setzen kann, dann gibt es eine Zahl, mit ebenso vielen Stellen minus eine mit Nullen und dahinter 'ne 1." Aber wann soll denn die 1 kommen? Wenn es unendlich viele Neuner sind, dann musst du auch unendlich viele Nullen in deine zweite Zahl schreiben. ("Unendlich minus 1" ist immer noch Unendlich.) Und dann ist dir noch ein Missverständnis was den Grenzwertbegriff angeht unterlaufen: Die Zahl 0,999... nähert sich nicht 1 an, sondern die Folge der Zahlen 0,9; 0,99; 0,999 usw. Der Grenzwert dieser Folge IST 1. Die Zahl 0,999... IST der Grenzwert der Folge, sie nähert sich ihm nicht an. (Auch daraus folgt 0,999... = 1, da eine Folge nicht zwei verschiedene Grenzwerte haben kann.) Grüße, Thomas |
Alfred Kubik (Fredy)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 17:26: |
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Hallo alle zusammen, ich möchte einiges zum Thema "Periode 9" darstellen: 0,Periode 9 = 0,999999..... wenn man nun eine Darstellung in Bruchform wählt, kann man sehen, dass es sich um eine unendliche, geometrische Reihe handelt, wie dies Allmut bereits aufgezeigt hat: 9/10+9/100+9/1000+9/10000 ....... Der q - Wert, also der Quotient 2er aufeinander folgender Glieder ist konstant, nämlich: 1/10...=0,1 9/10*1/10=9/100 9/100*1/10=9/1000 ..usw. Nachdem |q|=0,1<1 gibt es einen Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe, deren Summe s man mit der Formel berechnen kann: (wäre |q|>1, gäbe es KEINEN!! Grenzwert) s=a1/(1-q) a1...ist das 1.Glied der Reihe, also 9/10 oder 0,9 Wenn man in diese Formel einsetzt: s=0,9/(1-0,1) s=0,9/0,9 s=1 Damit ist bewiesen, dass 0,9 periodisch, also 0,99999......gleich 1 ist!! Geläufiger ist z.B. das Ergebnis von 0,Periode7, also 0,77777..., hier weiß man das Resultat: 7/9. Auch hier gilt das oben Gesagte für die unendliche geometrische Reihe, mit q=1/10=0,1 a1...ist das 1.Glied der Reihe, also 7/10 bzw. 0,7 Wenn man auch hier in diese Formel einsetzt: s=0,7/(1-0,1) s=0,7/0,9 s=7/9 Ich hoffe, zu diesem Thema "beweiskräftig" beigetragen zu haben. Liebe Grüße, Fredy. |
Rudolf (Ruedi)
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 19:09: |
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Hallo Fredy Sorry, wenn ich vielleicht zu naiv bin, um das zu verstehen. ABER: wenn s in der Formel: s=a1/(1-q) den Grenzwert einer unendlichen geom. Reihe darstellt, ist 1 bzw. 7/9 lediglich der Grenzwert und nicht die Zahl 0.999... bzw. 0.777... selbst. Verstehst Du, was ich meine? Du sagst: "Damit ist bewiesen, dass 0,9 periodisch, also 0,99999......gleich 1 ist!!" Ich sage: 0.999... ist nicht gleich 1, sondern 1 ist der Grenzwert der Reihe 0.999... s stellt ja den Grenzwert dar, nicht die Reihe. Ich mache da schon einen Unterschied. Gruss Rudolf |
Alfred Kubik (Fredy)
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 20:59: |
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Lieber Rudolf, deine Überlegungen haben wohl etwas für sich. Aber um in der Mathematik rechnen zu können, brauche ich geeignete Werte. Es ist doch unbestritten, dass man z.B. mit 0,Periode7, also 0,77777....nicht rechnen kann, sehr wohl aber mit 7/9. Und 7/9 ist der Grenzwert, bzw. die Summendarstellung der unendlichen geometrischen Reihe 0,7777..... Nach den Umwandlungsgewohnheiten reinperiodischer Dezimalzahlen erscheint es mir als logisch, nach 0,111.... >> 1/9 bis 0,888... >> 8/9 auch 0,9999.... als >> 9/9 zu akzeptieren. In all diesen Fällen von 1/9 bis 9/9 handelt es sich um die Grenzwerte bzw. die Summendarstellung der unendl.geom.Reihen. In der Literatur wird aber auch gesagt: Mit Hilfe der Summenformel für unendliche geometrische Reihen lassen sich periodische Dezimalzahlen in Brüche umschreiben. Dies ist stets möglich, weil periodische Dezimalzahlen immer rational sind! Wenn nun 0,9999... nicht 1 sein sollte, wie rechne ich dann mit dieser periodischen Dezimalzahl, außer ich nehme das Runden in Kauf, was aber in jedem Falle 1 wäre. Es ist das möglicherweise alles nur eine philosophische Betrachtung und bezüglich der exakten mathematischen Definition muss ich leider passen. Aber vielleicht findet sich doch noch jemand, der den genauen Aufschluss bringen kann. Liebe Grüße, Fredy. |
Allmut
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 22:28: |
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Lieber Rudolf, ich danke Dir! Genauso denke ich auch. Ich kann die andere Argumentation zwar nachvollziehen, aber mehr nicht. Lieber Alfred, ich neige mehr zu der philosophischen Betrachtung. Gruß A. |
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