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jana
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 21:00: | 
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Wie kann ich beweisen, dass das Quadrat unter allen umfangsgleichen Rechtecken den größten Flächeninhalt hat?(muß irgendwas mit dem Höhensatz zu tun haben) |
WissenLäuftGegen0
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 21:28: |
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Nein, es ist eine Extremwertaufgabe - Zumindest weiß ich, dass man es so auf jeden Fall lösen kann:
Du suchst ein Rechteck mit maximalen Flächeninhalt - gehst zunächst gar nicht von einem Quadrat aus. Du weißt, der Umfang eines jeden Rechtecks ist
U = 2a+2b
Die Fläche A ist
A = a*b
Diese Gleichungen setzt du zusammen und erhälst
(U/2-b)*b=A
bu/2 - b² =A
Wie man jetzt weiterrechnet weißt du wahrscheinlich nicht - es ginge mit der Differenzialrechnung:
A'(x)=2b-1/2u
2b-1/2u=0
2b=1/2u
b=U/4
Und eigentlich war das schon alles, denn wenn b=u/4 gilt, ist nach den Regeln oben auch a=u/4.
Also ist der größte Flächeninhalt erreicht, wenn beide Seiten genau gleichlang u/4 groß sind - und das gilt ja nur für ein Quadrat.
Ich hoffe das kann dir helfen. |
jana
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 07:23: |
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Danke für die Hilfe
leider MUSS ich diese Aufgabe irgendwie mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze lösen.
Der Höhensatz steht bei mir als Hilfe in Klammern neben der Aufgabe. |
Tim
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 18:09: |
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Wenn p und q die Rechteckseiten sind, dann kannst Du eine davon so aufklappen, daß Du die Grundseite eines Dreiecks (p+q) bekommst. Wenn Du darüber den Thaleskreis malst und am Höhenfußpunkt senkrecht eine Gerade nach oben zeichnest, ist das Dreieck vollständig.
Nach dem Höhensatz des Euklid gilt h2=pq.
Das ist gleich der Rechtecksfläche und dann maximal, wenn h2 maximal ist. Das gilt, wenn h maximal ist. Das ist offenslichtlich dann der Fall, wenn h gleich dem Radius des Thaleskreises entspricht, was nichts anderen heißt: h=p=q.
Also ein Quadrat.
Tim |
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