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Heike
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 1999 - 17:16: | 
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Hallo ihr da draußen könntet ihr mir vielleicht bei der Aufgabe helfen:
Sarah hat zwei gleich große Eimer A und B, die beide zur Hälfte mit Wasser gefüllt sind. Sue führt nun einen Umfüllvorgang durch der aus zwei Teilschritten besteht.
1.Ts:Die Hälfte der im Eimer A befindlichen Wassermenge wird in den Eimer B geschüttet.
2.Ts:Die Hälfte der nun im Eimer B befindlichen Wassermenge wird in den Eimer B geschüttet.
(a)Wie viel Wasser ist nach jedem Teilschritt in A, wie viel in B?
Gib auch jeweils das Verhältnis dieser beiden Wassermengen an,ausgedrückt als Verhältnis zweier zueinander teilerfremder natürlicher Zahlen!
(b)Sarah führt den Umfüllvorgang (jeweils bestehend aus zwei Teilschritten) noch ein zweites, ein drittes und ein viertes Mal durch.
Beantworte jedesmal dieselben Fragen wie in (a)!
(c)Welche Gesetzmäßigkeiten kannst du dabei entdecken? (Ein Beweis ist hier nicht gefordert.)
Verwende eine (oder mehrere) davon, um Antworten auf folgende Fragen 1,2 und 3 zu finden:
-Welches Verhältnis bilden die Wassermengen, nachdem der Umfüllvorgang insgesamt 8-mal durchgeführt wurde?
-Welches Verhältnis bilden die Wassermengen nach insgesamt n-maliger Durchführung des Umfüllvorgangs (n ist eine beliebige natürliche Zahl)?
-Wie kann man zegen, dass auch bei beliebiger häufiger Wiederholung des Umfüllvorgangs jader der beiden Eimer stets mindestens zu einem Viertel gefüllt ist?
BITTE SCHICKT MIR EURE ANTWORTEN KOMPLETT MIT NEBENRECHNUNGEN UND BEIWEISEN ZU EUREN AUSSAGEN!!
HOFFENTLICH BIS BALD HEIKE |
clemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 1999 - 00:18: |
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Hallo, Heike!
Mit folgendem Ansatz bin ich recht weit gekommen:
Wir nennen den Inhalt von A zu Beginn a0.
Da bei keinem der beiden Teilschritten Wasser weggeschüttet wird, bleibt die Gesamtwassermenge immer gleich. Wir brauchen also das b0 nicht extra berechnen, sondern bekommen es automatisch mit 1-a0.
"a0.5" ist die Wassermenge in A nach dem 1.TS.
a0.5 = a0/2
und a1 = a0.5 + 1/2(1-a0.5) = 1/2 + a0/4
überhaupt kann man das verallgemeinern und erhält eine rekursive Folge:
a0 = 1/2
an+1 = 1/2 + an/4
ein paar werte errechnet:
a1 = 1/2 + 1/8 = 5/8
a2 = 1/2 + 5/24 = 21/32
a3 = 1/2 + 21/128 = 84/128
als kleiner Tip: wenn du für an den Nenner 2*4n benutzt, geht sich immer ein schöner Bruch aus.
So kannst du auch die Fragen (a) und (b) leicht beantworten.
z.B. a3=85/128 also ist a3:b3 = 85:43
(ggf. dieses Verhältnis noch kürzen)
(c) ist durch die Rekursion gegeben.
(1)(2)
das Verhältnis an:bn = an:(1-an) ist schon schwieriger, da fällt mir momentan nur ein Ansatz ein...
vn:= an/(1-an)
=> vn = 1/[(1-an)/an] = 1/[1/an - 1]
andererseits gilt
1/vn = 1/an - 1 => 1/an = 1/vn - 1
(gleiche Rechnung wie oben)=> an = vn/(1-vn)
vielleicht kannst du damit weitermachen ODER du findest raus wie man auf den Zähler des Bruches an mit dem Nenner 2*4n kommt...
Frage(3) ist wieder einfach:
a0 ist trivialerweise > 1/4 und auch b0 > 1/4.
wenn wir nun annehmen, daß an > 1/4 und 1-an > 1/4
folgt an+1 = 1/2 + an/4 > 1/2 + 1/16 > 1/4
auch 1-an+1 > 1/4 => an+1 < 3/4
=> an+1 = 1/2 + an/4 < 1/2 + 3/16 < 3/4
nach dem Induktionsprinzip folgt, daß für alle n aus N gilt, daß
1/4 < an < 3/4
also sind beide Eimer IMMER mindestens 1/4 voll.
Hoffe das hilft was, wenn der ein oder andere punkt nicht klar ist, sorry, einfach nochmal was ins Board schreiben oder mailen.
Clemens |
clemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. September, 1999 - 01:10: |
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Nochmal Hallo, Heike!
Echt eine schöne Aufgabe, die du da hast.
Ich hab jetzt auch die Lösung zum Punkt (3)
wir kennen die Rekursionsformel
a0 = 1/2
an+1 = 1/2 + an/4
nun wollen wir eine Folge (cn), die der Zähler des Bruches an sein soll, wenn der Nenner 2*4n ist.
d.h. (cn) muß erfüllen:
an = cn/(2*4n)
klar ist c0 = 1.
cn+1 = 2*4n*an+1 = 2*4n*(1/2 + an/4) = 4n+1 + 2*4n*an = 4n+1 + cn
daraus folgt schnell, daß
cn = Sn k=04k (geometrische Reihe)
dafür gibt's eine Formel (nachschlagen) und wir bekommen
cn = (4n - 1)/3
Das Verhältnis ergibt sich wie folgt:
vn = cn/(2*4n - cn)
kurze Rechnung und
vn = (4n-1)/(5*4n + 1)
daran sieht man auch schön, daß sich das verhältnis von unten 1/5 nähert.
da hab ich mir jetzt aber mühe gegeben, mhm, hoffe es hat sich gelohnt!
clemens |
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