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John de Kruijff
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 15:57: | 
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Bitte helfen Sie mir mit mein folgendes problem:
Ein Leiter soll gegen ein Haus gestellt werden. Die Leiter ist 6m. Gegen das Haus steht ein Kübel von 1 meter hoch und 1 meter Breite. Wie weit soll die Leiter vons Haus gestellt werden wenn es das Haus und die Kübel berührt. Dieses problem ist zu zwierig für mich. Bitte helfen sie mir. |
Wolfgang
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 19:17: |
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Die Lösung dieser Aufgabe ist vom Rechentechnischen her sehr schwierig!
Ich bezeichne den Abstand des oberen Leiterendes vom Kübel(senkrecht nach unten) mit x und den Abstand des unteren Leiterendes vom Kübel(waagrecht) mit y. Da der Kübel die Länge und die Höhe 1m hat, gilt im großen rechtwinkligen Dreieck wegen Pythagoras
I (x+1)^2 + (y+1)^2 = 36
Da die beiden kleinen Dreiecke zueinander ähnlich sind gilt:
II x/1 = 1/y bzw. II x*y = 1 (auf diese Gleichung kommt man auch mit dem Strahlensatz)
Das Problem liegt nun in der Lösung dieses Gleichungssystems mit zwei Variablen. Versucht man mit dem Einsetzungsverfahren eine Unbekannte zu eliminieren, so erhält man ein Polynom 4.Grades, das mit Schulmathematik nicht gelöst werden kann. Deshalb hilft nur ein "Trick", nämlich eine geschickte Substitution. Multipliziert man die linke Seite der Gleichung I aus und formt ein wenig um, so erhält man
I x^2 + y^2 + 2*(x+y) +1 = 35
Nun addiert man das Doppelte der Gleichung II (also 2*x*y = 2) zu Gleichung I und erhält:
x^2 +2xy +y^2 +2(x+y) +1 = 37; bzw.
(x+y)^2 + 2(x+y) + 1 = 37;
Substituiert man nun x+y =: u ,so lässt sich die entstandene Gleichung mit der Lösungsformel lösen (das ist der Trick):
u^2 + 2u + 1 = 37; hat die positive Lösung
u = -1 + Wurzel(37); (die negative Lösung ist unbrauchbar!)
Damit vereinfacht sich das Problem zu
I x + y = (=u) = -1 + Wurzel(37)
II x*y = 1
Löst man Gleichung II nach x auf und setzt in Gleichung I ein, so erhält man :
1/y + y = -1 + Wurzel(37) bzw.nach Umformung:
y^2 - y*(-1+Wurzel(37)) + 1 = 0;
Die Anwendung der Lösungsformel liefert dann
y1 = 4,878 sowie y2 = 0,205
Diesen Abstand muss also der Fußpunkt der Leiter vom Kübel haben, damit das obere Leiterende die Wand und die Leiter den Kübel berührt.
(Damit man möglichst hoch hinauf kommt, wird man wohl y=0,205m wählen. Der Fußpunkt der Leiter ist dann 1,205m von der Wand entfernt, das obere Ende der Leiter befindet sich 5,878m über dem Boden) |
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