| Autor |
Beitrag |
    
Anke
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 12:20: | 
|
Konstruiere eine Figur mit den Maßen:
SB= 6cm, SQ= 7,5cm, BQ= 3,6cm, SA= 4cm, AP= 2,4cm. Zeige, dass diese Aufgabe zwei Lösungen hat und dass nur für eine der beiden Lösungen AP parallel zu BQ gilt.
Erste Figur ist eine normale Strahlensatzfigur mit dem festen Punkt S. Von dort gehen zwei Geraden aus, die von zwei Parallelen in P und Q (obere Gerade) und A und B (untere Gerade) geschnitten werden.
In der zweiten Figur liegen P und Q bzw. A und B auf verschiedenen Seiten von S, so dass sie rübergespiegelt werden, aber AP und BQ nicht parallel sind.
Ich habs probiert so gut wie möglich zu beschreiben...bitte sagt mir, ob das richtig ist!
Danke schon mal!
Beweis, dass bei der ersten Figur AP parallel zu BQ ist:
Voraussetzung: SP:SP*= SA:SB
(Wir haben eine Gerade g und eine Gerade h (durch einen Punkt P* und B).
Wir zeichnen eine Parallele zu g (gerade durch AP) durch B und nennen sie h*.
Ihr Schnittpunkt mit der oberen von S ausgehenden Geraden ist Q. Wegen
H* ist ungleich h gilt auch P* ist ungleich Q. Wegen g ist parallel zu h, wenden wir
Den 1.Strahlensatz an:
SA:SB= SP: SQ
Andererseits hatten wir
SP:SP*= SA: SB
Vorausgesetzt.
Also gilt SP:SQ= SP:SP*
Daraus folgt Q= P*. Das ist ein Widerspruch zu P* ist ungleich zu Q. Weil die Annahme zu einem Widerspruch führt, folgern wir g ist parallel zu h. Also AP ist parallel zu BQ.
Ist dieser Beweis richtig? Und reicht es zu schreiben:
Da nur für eine der beiden Lösungen AP parallel zu BQ gelten sollte, muss für die zweite Lösung AP ist nicht parallel zu BQ gelten.
Oder muss man noch irgendwas schreiben? |
gofal
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 13:06: |
|
Das erste Argument ist wunderbar ausgeführt.
Der Beweis allerdings funktioniert nicht:
Laut Vorausseztung gilt SP:SP*=SA:SB, wobei h durch P* und B geht und g durch A und P. Wegen der Voraussetzung (Strahlensatz) gilt, daß g und h parallel sein müssen (sonst wäre SP:SP* nicht gleich wie SA:SB). Und somit ist h doch gleich mit dem von dir parallelverschobnen h*.
Der Beweis geht viel einfacher:
Wenn die zwei Strecken parallel sein sollen, dann muß der Strahlensatz gelten: SB:BQ=SA:AP
Wir kennen die Längen für SB,BQ,SA und AP und setzen ein:
SB:BQ=6:3,6=1,6666666666
SA:AP=4:2,4=1,6666666666
Die Verhältnisse sind gleich => Umkehrung des Strahlensatzes => die Graden sind parallel |
Anke
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 19:17: |
|
Was meinst wenn du schreibst, dass das erste Argument ist wunderbar ausgeführt? Welches erste Argument?
Mit deinem Argument hast du Recht, aber ich habe mich fast genau an den Beweis zur Umkehrung des 1. Strahlensatzes in unserem Buch gehalten. Und dort steht es fast genauso, also auch, dass man das erste voraussetzt.
Bitte schreib noch mal! |
gofal
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 08:47: |
|
Hallo!
Mit "Das erste Argument ist wunderbar angeführt" meinte ich, daß du die Begründung mit den zwei Lösungen und daß eine davon zwei nicht-parallele Strecke giebt, weil die Punkte jeweils auf der anderen Seite des Streckzentrums liegen, kurz aber auch klar und gut verständlich formuliert hast.
Wegen dem Beweis, der in eurem Buch fast genauso steht: Das Problem ist wahrscheinlich das "fast". Manche Beweise beruhen auf ganz speziellen Eigenschaften und lassen sich deshalb nicht einfach auf ein anderes Beispiel übertragen. Womöglich ist dies hier der Fall.
Abgesehen davon liefert dein Beweis etwas allgemeines. Das heißt du hast keine Konkreten Zahlen verwendet, dein Beweiß wäre also allgemeingültig für beliebige Punkte A,B,Q,P,S. In unserem Fall aber haben wir konkrete Zahlen für unsere Längen gegeben, mit denen wir zeigen sollen, daß zwei Seiten parallel sind. Ein allgemeiner Beweis wäre hier fehl am Platz, weil nicht jede beliebige Kombination von Punkten zwei Parallelen liefert. In unserem Beispiel ist die spezielle Wahl der Längen von Bedeutung. Dies muß aber auch in den Beweis einfließen, also Beweis durch einsetzen.
Anders gesagt:
Wenn du eine allgemeine Bedingung hast, dann brauchst du auch einen allgemeinen Beweis. Hast du aber konkrete Zahlen als Angabe, dann genügt es, diese Zahlen in allgemeine Sätze einzusetzen.
Gof |
Anke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 09:01: |
|
Ok! Danke! Sag mal, wie alt bist du eigentlich? |
gofal
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 09:54: |
|
21 |
Anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 10:48: |
|
Ok! Kannst du mir vielleicht noch mal helfen?
Beweise: Die Hintereinanderausführung (Verkettung) von zwei zentrischen Streckungen mit gleichem Zentrum Z und den Streckfaktoren k1 und k2 ist wieder eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z dem Streckfaktor k= k1*k2.
Ist dieser Beweis vollständig oder muss man dort noch etwas hinzufügen?
s*k1= s1
s1*k2= s2
s1= S2/k2
S*k1=s2/k2
S*k1*k2=s2
k1*k2= s2/s, was den Streckfaktor angibt, mit dem s auf s2 gestreckt wurde.
Also gilt: k1*k2= k
k*s=s2
Muss man da noch etwas hinzufügen z.B. mit dem Streckzentrum Z?
Danke dir schon mal im voraus! |
gofal
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 12:04: |
|
Nein du brauchst nichtsmehr hinzuzufügen, weil du ja schon mit den Längen s gearbeitet hast. Und Längen sind ja definiert als Abstand zwischen zwei Punkten. Und einer dieser zwei Punkte ist jeweils das Streckzentrum Z. Du hast das Z also die ganze Zeit im Beweis mitverwendet. |
Anke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 13:51: |
|
Ok! Danke!!
Eine Aufgabe hab ich noch, dann müsst ich eigentlich alles können..
Gegeben sei eine Strecke AB mit AB=5cm. Konstruiere den inneren Teilpunkt Ti, der die Strecke AB von A aus im Verhältnis 2:3 teilt.
Ich teile die Strecke AB in fünf Teile, so dass Ti 2 cm von A entfernt liegt. Ist das richtig?
Gegeben sei eine Strecke CD mit CD= 7cm. Konstruiere den äußeren Teilpunkt Ta, der die Strecke CD von C aus im Verhältnis 2:3 teilt.
Ich habe schon alles mögliche probiert, aber keine Lösung gefunden. Kann mir jemand weiter helfen?
Wird die Strecke AB durch die Teilpunkte Ti und Ta innen und außen in demselben Verhältnis geteilt, so nennt man diese Teilung harmonisch. Teile die Strecke AB mit AB=10cm im Verhältnis 4:5 von A aus harmonisch.
Kann mir hier auch jemand helfen?
Danke schon mal! |
gofal
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 20:02: |
|
Hi!
Ja, es ist schon richtig, daß du die Strecke AB in 5 Teile teilen mußt, aber wie konstruierst du diese Teilung?
Der einzige Weg geht so:
Zuerst zeichnest du die Strecke AB (schwarz). Danach konstruierst du von A aus eine beliebige Strecke (blau). Dann nimmst du eine beliebige Länge in deinen Zirkel und trägst von A aus auf dieser Strecke 5 mal diese Länge ab. So erhällst du die Punkte P1,P2,P3,P4 und P5.
Du ahnst sicher schon, wie es weitergeht:
Du verbindest den Punkt P5 mit dem Punkt B (grün). Diese Verbindung verschiebst du parallel, bis sie durch den Punkt P2 läuft. So hast du auf der Strecke den Punkt Ti gefunden.
Die Begründung, warum ausgerechnet dieser Punkt die Strecke AB im Verhältnis 2:3 teilt, ist der Strahlensatz. Die Strecke P2Ti und die Strecke P5B sind parallel und die Punkte liegen auf zwei Schenkeln. Daher gilt: P1P2:P2P5=P2Ti:P5B
Wenn der Punkt Ta außerhalb der Strecke liegt, geht das ganze genauso, nur daß du die Verbindung nach außen hin parallelverschiebst.
Jetzt dürfte dir die harmonische Teilung, oder auch "goldener Schnitt" genannt, auch keine Probleme mehr bereiten. |
Anke
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 13:03: |
|
Ok! Danke! Ich drucke mir das gleich aus, wenn ich noch ne Frage habe, dann werde ich mich noch mal melden.
Anke |
Anke
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 13:09: |
|
Hmm..Was meinst du mit nach außen verschieben?
Äußerer Teilpunkt heißt doch:
ATa:TaB oder nicht? Nach wo verschieben und liegt dann der Punkt rechts oder links von A?
Danke schon mal im voraus! |
Anke
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 13:13: |
|
Bitte hilf mir noch mal!
Danke schon mal! |
gofal
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 17:11: |
|
Mit "nach außen verschieben" meinte ich, daß du die Prallele nicht in Richtung A, sondern genau in die andere Richtung verschieben sollst. Das ganze sieht dan etwa so aus:
Wobei natürlich die Konstruktion dieselbe ist: Zuerst die Strecke AB, dann eine beliebige (blau), auf der du 5 gleich große Abstände markierst. Dann verbinde P2 und B (grün) Diese Verbindung verschiebe Paralell, bis die Parallele durch P5 geht. So erhälst du Ta |
Anke
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 17:22: |
|
Aber gilt denn nicht: Ata: TaB= 2:3
Und ist das nicht irgendwie anders? (5:2)
Das ist irgendwie mein Problem...oder stimmt
Ata: TaB= 2:3
nicht?
Bitte antworte noch mal schnell!
Danke! |
gofal
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 17:35: |
|
OK, jetzt ist eine gewisse Verwirrung entstanden.
AB wird durch den inneren Punkt Ti im Verhältnis 2:3 geteilt. Das war ja noch klar.
Bei der Strecke CD liegt der äußere Punkt Ta, sodaß CD:DTa=2:3. Und das war der Fall, wo ich meinte, daß du die Parallele nach außen verschieben mußt. Und bei meiner zweiten Skizze solten die Punkte deshalb eigentlich C, D und Ta heißen. |
Anke
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 13:14: |
|
Ok, dann hab ich das wohl verstanden, denke ich.
Machs gut!
Anke |
Asuka
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 18:13: |
|
Hi!!!Wir schreiben morgen ne Mathearbeit und ich hab noch einige Fragen.
Diese Aufgabe verstehe ich nicht:
Konstruire 2 Strecken a und b,deren Längen im Verhältnis 2:3 stehen,und für die a)a+b=10cm;b)a-b=6cm gilt.
Wie rechnet man eigentlich generell Verhältnisse aus?? |
Siegfried
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 19:51: |
|
Das Verhältnis 2:3 sagt aus, daß es 5 Teile x gibt, wovon 2 zu a und 3 zu b gehören.
für a gilt: a+b=5x=10cm -> x=2cm
Man konstruiert es so:
beliebige Strecke y zeichnen, dann a'=2*y
und b'=3*y zeichnen(einfach aneinanderhängen)
Dann a' und b' zentrisch strecken mit dem Verhältnis x/y
b) hier müssen aund b im Verhältnis 3:2 stehen.
Dann gilt 3*x-2*x=6cm -> x=6cm
Die Konstruktion ist nun die gleiche wie bei a) |
|
